Dimension
Dans le sens commun, le notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.
En physique et en mathématique, la notion de dimension est bien particulière. Ces notions ont été détournées dans le domaine de la science-fiction.
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Physique
En physique, le terme dimension regroupe deux notions complètement différentes.
Dimension d'un espace vectoriel
La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut vulgariser cette notion en disant que
- la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement.
Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient.
- Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
- un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
- un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points au sein de l'objet (abscisse curviligne) ;
- un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre pour trouver le point...
Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).
Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).
Dimension d'une grandeur
La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs.
Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre par seconde).
Voir l'article détaillé Équation aux dimensions.
Mathématiques
Dimension d'un espace vectoriel
En mathématiques, la notion de dimension correspond à la dimension de l'espace vectoriel de la physique :
- si un espace vectoriel est muni d'une base de cardinal fini d, alors toutes les bases ce cet espace ont pour cardinal d, et la dimension de cet espace est d.
(Rappelons qu'une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel, c'est-à-dire que tout vecteur peut se décomposer en une unique combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.)
Lorsqu'un espace vectoriel n'admet aucune base de cardinal fini, on dit qu'il est de dimension infinie. Exemple : l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Dans un tel espace il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.
Dimension fractale
Mais la définition de la dimension donnée ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales.
Droite_Koch.png
De manière simplifiée et en première approximation (Cf. l'article spécialisé pour une meilleure définition), un objet fractal est un objet ayant une homothétie interne, c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron au milieu.
On répète cette opération à l'infini. Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une « mauvaise » dimension, et qu'en mesurant « mieux », on aurait une mesure plus correcte, finie.
Nous avons besoin de revenir sur la notion d'étalon en physique :
- l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) ;
- l'étalon de surface est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) ;
- l'étalon de volume est un pavé (cube) d'arrête fixe (dimension 3).
- etc.
On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles (celles-ci ont une épaisseur nulle).
De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle). On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension , etc.
Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :
- si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
- si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalon qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
- si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini : le nombre d'étalon qu'il faut pour couvrir l'objet : notre problème est donc de trouver (si elle existe) la « bonne » dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini, bien sur).
Pour faire cette mesure, la « taille » de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapproche. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ℓ, plus ℓ est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir Nℓ règles de longueur ℓ, la mesure sera
- M(ℓ) = Nℓ×ℓ
Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ℓ divisée par deux (ou par trois, quatre, ... N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre, ... N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(ℓ) lorsque ℓ tend vers 0, c'est un nombre réel.
Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalon. Du coup, la suite de mesures de longueur ne converge pas.
- M(ℓ/3) = 4Nℓ/3
Nous avons, tout « naturellement », fait varier de la dimension de 1 en 1 (point, ligne, surface, volume, ...). Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la « dimension ». Et de fait, pour la dimension
- do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9.
on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch.
Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.
Dimension topologique
La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine, à n si P est d'intérieur non vide, à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.
Dimension de Hausdorff - Besicovitch
La dimension d'Hausdorff-Besicovitch Dh prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc,
.
On aura donc, pour un point :
avec n naturel > 1,
vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire « un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ».
Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc
.
De cette facon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.
Dimension de Minkowski - Bouligand
La dimension de Minkowski-Bouligand Dm est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors,
,
où r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon ρ. N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque qui recouvre cette figure.
Dans les œuvres de science-fiction
Dans le domaine de la science-fiction, le terme « dimension » est utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant une appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ».