Différentielle

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Définition

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Hilbert,

Soit $J\ :\ E\rightarrow F$

Soit $u\in E$

On dit que $J$ est différentiable en $u$ si et seulement s’il existe une application linéaire $L$ de $E$ dans $F$ telle que :

$\forall h \in E\quad J(u+h)=J(u)+L(h)+o\left(\|h\|\right)$

Dans ce cas, $L$ est la différentielle de $J$ en $u$ et on note :

$L = D u (J)$

ou encore :

$L = D (J)(u)$

Cas où F=R

Dans ce cas, $D u (J)$ est une forme linéaire sur E. En vertu du théorème de Riesz, il existe un unique vecteur $v$ de E tel que :

$\forall h \in E\quad <v,h>=D_u(J)(h)$

On note plus simplement :

$v = J'(u)$

Cas où E est de dimension finie : lien avec les dérivées partielles

Dans ce cas,

$\forall i \in [1,n]\quad J\left(\left(u_1,u_2,...,u_i,...\right)+\left(0,0,...,h_i,...\right)\right)=J(u)+\frac{\partial J}{\partial x_i}(h_i)+o(\|h\|)$

En combinant toutes ces équations pour $i \in [1,n]$ , on obtient :

$J(u+h)=J(u)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial J}{\partial x_i}(h_i)+o(\|h\|)$

Différentielle

Définition

Cas où F=R

Cas où E est de dimension finie : lien avec les dérivées partielles

See also: Différentielle, Espace de Hilbert, Mathématiques