Critère de divisibilité

Un critère de divisibilité est une particularité d'un nombre entier permettant de déterminer rapidement si ce nombre est divisible par un autre. Malgré leur apparence de « recette de cuisine » (voir la liste de critères de divisibilité), les critères de divisibilité sont basés sur des démonstrations mathématiques ; il est possible d'en trouver pour n'importe quel nombre grâce aux congruences.

Sommaire

1 Recherche d'un critère de divisibilité

2 Exemple et démonstration de critères de divisibilité

2.1 par 2

2.1.1 Énoncé
2.1.2 Démonstration

2.2 par 3

2.2.1 Énoncé
2.2.2 Démonstration

2.3 par 7

2.3.1 Énoncé
2.3.2 Démonstration

3 Démonstration pour un nombre quelconque

4 Bibliographie

5 Voir aussi

Recherche d'un critère de divisibilité

Pour chercher un critère de divisibilité du nombre p en base 10, il suffit de chercher un multiple de p ayant une différence de 1 avec un multiple de 10.

Quand nous mentionnerons qu'il faut ajouter ou retrancher un chiffre, il s'agit du dernier qui est retranché au reste du nombre, par exemple pour 7485 et la divisibilité par 7, on retranche 2 × 5 à 748 et on recommence avec le résultat ainsi formé.

Exemples :

3 × 3 = 9 = 1 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les chiffres pour la divisibilité par 3 et par 9
3 × 7 = 2 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les doubles des chiffres pour la divisibilité par 7 (et par 3)
11 = 1 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les chiffres pour la divisibilité par 11
13 × 3 = 4 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les quadruples des chiffres pour la divisibilité par 13 (et par 3)
17 × 3 = 5 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les quintuples des chiffres pour la divisibilité par 17 (et par 3)
29 = 3 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les triples des chiffres pour la divisibilité par 29
31 = 3 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les triples des chiffres pour la divisibilité par 31
41 = 4 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les quadruples des chiffres pour la divisibilité par 41
etc.

Exemple et démonstration de critères de divisibilité

On aborde les démonstrations dans $\mathbb{N}$ car un entier relatif a les mêmes diviseurs que sa valeur absolue. D'autres démonstrations sont disponibles.

Ci-dessous sont expliquées les notations utilisées dans le reste de l'article.

Soit $A$ un entier naturel.

On pose $A = \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$ , c'est-à-dire que $a 0$ est le chiffre des unités, $a 1$ est le chiffre des dizaines, etc.

d'où $A = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n$

Le symbole $\sum$ utilisé dans l'article est l'opérateur de l'addition, il se nomme sigma.

par 2

Énoncé

Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est divisible par 2.

Démonstration

Soit A un entier naturel se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8.

$A = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n$

$A = a_0 + 10 (a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1})$

$\begin{matrix} 10 \equiv 0 \pmod{2} &\Leftrightarrow& 10(a_0 + a_1 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1}) \equiv 0 \pmod{2} \\ &\Leftrightarrow& A \equiv a_0 \pmod{2} \\ &\Leftrightarrow& A \equiv 0 \pmod{2} \mbox{ car } a_0 | 2 \end{matrix}$

Conclusion : Lorsque le dernier chiffre d'un nombre est divisible par 2, ce nombre est divisible par 2.

par 3

Énoncé

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Démonstration

Soit A un entier naturel divisible par 3.

$A | 3 \Leftrightarrow A \equiv 0 \pmod{3}$

$A = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n$

$\mbox{Or, }10 \equiv 1 \pmod{3}$

$\mbox{Donc, }A \equiv 0 \pmod{3} \Leftrightarrow a_0 + a_1 + ... + a_n \equiv 0 \pmod{3}$

Conclusion : Lorsqu'un nombre est divisible par 3, la sommes des chiffres de ce nombre est divisible par 3.

par 7

Énoncé

Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est divisible par 7.

Démonstration

Soit A un entier naturel divisible par 7,

$A = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n$

$A \, | \, 7 \mbox{ et } 21 \, | \, 7 \mbox{ donc } A - 21a_0 \, | \, 7$

$a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n - 21a_0 \, | \, 7$

$a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + ... + a_n \times 10^n - 20a_0 \, | \, 7$

$10(a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1} - 2a_0) \, | \, 7$

Or, 7 et 10 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss :

$a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1} - 2a_0 \, | \, 7$

Réciproquement, si $7 \, | \, a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1} - 2a_0$

alors $7 \, | \, 10(a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1} - 2a_0)$

Or, $7 \, | \, 21$ donc $7 \, | \, a_1 + a_2 \times 10 + ... + a_n \times 10^{n-1} - 20a_0 + 21a_0$

On obtient : $7 \, | \, A$

Conclusion : $7 \, | \, A \Leftrightarrow 7 \, | \, (\overline{a_n a_{n-1}...a_1} - 2a_0)$

Démonstration pour un nombre quelconque

Le tout est de tirer profit de la décomposition du nombre $A$ en somme de produits par 10. Si à partir d'un certain rang $n$ , $10 n$ est divisible par le diviseur $d$ , le suivant le sera aussi, car $10^{n+1} \equiv 0 \pmod{10^n}$ et donc seuls les chiffres $a k$ d'un rang strictement inférieur à $n$ auront une influence sur la divisibilité de ce nombre par $d$ .

On peut aussi essayer de trouver un motif, par exemple, lorsque l'on retrouve deux fois le même nombre dans une congruence, on peut en extrapoler la suite, étant donné que l'on l'a déjà calculée.

Toutefois, il est aussi possible que ce critère ne soit ni simple à mettre en œuvre, ni aisément mémorisable. Par exemple, pour la divisibilité par 7 :

$A=\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$

Si a est multiple de 7 on a :

$a \equiv 0 \pmod{7}$

$10^0 \equiv 1 \pmod{7}$

$10^1 \equiv 3 \pmod{7}$

$10^2 \equiv 2 \pmod{7}$

$10^3 \equiv 6 \pmod{7}$

$10^4 \equiv 4 \pmod{7}$

$10^5 \equiv 5 \pmod{7}$

$10^6 \equiv 1 \pmod{7}$

Et là, comme vous l'aurez remarqué, $10 n$ ne se simplifie pas du tout.

On peut déduire que le critère de divisibilité est si $n = 6 k 0 + k 1$ :

$a_n \times w_{0} + a_{n-1} \times w_1 + ... + a_6 + a_5 \times 5 + a_4 \times 4 + a_3 \times 6 + a_2 \times 2 + a_1 \times 3 + a_0 \equiv 0 \pmod{7}$

avec :

w 0 = 1

pour

k 1 = 0

w 0 = 3

pour

k 1 = 1

w 0 = 2

pour

k 1 = 2

w 0 = 6

pour

k 1 = 3

w 0 = 4

pour

k 1 = 4

w 0 = 5

pour

k 1 = 5

et :

w 1 = 5

pour

k 1 = 0

w 1 = 1

pour

k 1 = 1

w 1 = 3

pour

k 1 = 2

w 1 = 2

pour

k 1 = 3

w 1 = 6

pour

k 1 = 4

w 1 = 4

pour

k 1 = 5

etc.

D'où l'absence d'utilité d'un tel critère, qui ne devient intéressant que lorsque l'on commence à travailler avec des nombres ayant beaucoup de chiffres.

Cependant, dans un cas comme celui là, on peut se dire qu'en simplifiant le problème peu à peu, il est possible de savoir si un chiffre est ou non divisible par 7 de tête.

Si l'on reprend du début :

$1 \equiv -6 \pmod{7}$

$10 \equiv 3 \pmod{7}$

On en déduit :

$(\sum_{i=1}^{n}{ 3 \times a_i \times 10^{i-1}}) -6 \times a_0 \equiv 0 \pmod{7}$

$(\sum_{i=1}^{n}{ a_i \cdot 10^{i-1}}) -2 \cdot a_0 \equiv 0 \pmod{7}$

Par conséquent :

Si un chiffre moins son dernier chiffre divisé par 10 moins 2 fois ce dernier chiffre est divisible par 7, alors ce chiffre est divisible par 7.

Voilà qui simplifie un peu le problème de la divisibilité par 7.

Bibliographie

La jubilation en mathématiques, A. Deledicq

Voir aussi

Liste de critères de divisibilité

Critère de divisibilité

Recherche d'un critère de divisibilité

Exemple et démonstration de critères de divisibilité

par 2

Énoncé

Démonstration

par 3

Énoncé

Démonstration

par 7

Énoncé

Démonstration

Démonstration pour un nombre quelconque

Bibliographie

Voir aussi

See also: Critère de divisibilité, Addition, Congruence, Divisibilité, Démonstration, Entier naturel, Liste de critères de divisibilité, Nombre entier, Nombre premier, Opérateur