Critères de dispersion

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Mathématiques élémentaires

Après avoir déterminé où se situent les valeurs du caractère statistique en cherchant des critères de position, on peut chercher à déterminer la dispersion de ces valeurs.

En mesure physique (métrologie), cette dispersion est estimée par l'écart type, qui sert à calculer l'erreur de mesure. De manière plus générale, il est important de savoir si les valeurs sont groupées ou au contraire dispersées, ce qui indique si la population est uniforme ou pas vis-à-vis du critère testé.

Sommaire

1 Étendue

2 Écart interquartile

3 Dispersion autour de la moyenne

3.1 Ecart moyen
3.2 Écart type

3.2.1 Propriétés de l'écart type
3.2.2 Écart type relatif
3.2.3 Variance
3.2.4 Intervalle de confiance ou plage de normalité

4 Question de minimum

5 Voir aussi

Étendue

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère statistique.

étendue =

x m a x - x m i n

Écart interquartile

L'écart inter-quartile est la différence entre le troisième et le premier quartile.

écart interquartile = Q3 - Q1

L'écart interquartile correspond à l'étendue de la série statistique après élimination de 25% des valeurs les plus faibles et de 25% des valeurs les plus fortes.

Dispersion autour de la moyenne

Après avoir calculé la moyenne, $\overline{x}$ , on peut chercher à savoir de quelle façon les valeurs s'éloignent de cette moyenne. On crée alors une nouvelle série statistique: la série des écarts.

$e_i=x_i - \overline{x}$

Ecart moyen

Le premier réflexe serait de calculer la moyenne de ces écarts. Mais les propriétés de la moyenne nous assurent que la moyenne des écarts est nulle. En effet, certains de ces écarts sont négatifs et d'autres sont positifs, la somme des écarts positifs compensant exactement la somme des écarts négatifs. Il faut donc s'abstraire du signe et calculer alors la moyenne de la valeur absolue des écarts. C'est ce que l'on appelle l'écart moyen.

écart moyen = $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|$ dans le cas d'une série discrète non triée.
écart moyen = $\frac{\sum_{i=1}^nn_i|x_i-\overline{x}|}{\sum_{i=1}^nn_i}=\sum_{i=1}^nf_i|x_i-\overline{x}|$ dans le cas d'une série discrète regroupée.
écart moyen = $\frac{\sum_{i=1}^nn_i|m_i-\overline{x}|}{\sum_{i=1}^nn_i}=\sum_{i=1}^nf_i|m_i-\overline{x}|$ dans le cas d'une série continue.

Écart type

L'utilisation des valeurs absolues est souvent une impasse en mathématique. S'il s'agit de rendre positif les écarts, un autre outil est à notre disposition: la moyenne quadratique des écarts. C'est ce qu'on appelle l'écart type noté $σ$ .

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$ dans le cas d'une série discrète non triée.
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nn_i(x_i-\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^nn_i}}=\sqrt{\sum_{i=1}^nf_i(x_i-\overline{x})^2}$ dans le cas d'une série discrète regroupée.
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nn_i(m_i-\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^nn_i}}=\sqrt{\sum_{i=1}^nf_i(m_i-\overline{x})^2}$ dans le cas d'une série continue.

Propriétés de l'écart type

Invariance par translation.L'écart type n'est pas modifié si on ajoute ou retranche une constante à la série statistique. Si $y i = x i + C$ alors $σ y = σ x$ .
Stabilité par multiplication par une constante.Si on multiplie une série par une constante positive, l'écart type est multiplié par la même constante. Si $y i = K x i$ alors $σ y = K σ x$ .
L'écart type est toujours positif et est nul si la série statistique est constante.
Sensibilité aux valeurs extrêmes. Comme la moyenne, l'écart type est sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes et il est parfois nécessaire d'éliminer ces valeurs avant de faire le calcul de l'écart type.

Écart type relatif

Pour comparer deux séries statistiques qui n'ont pas le même ordre de grandeur, il est parfois bon de comparer l'écart type et la moyenne en en faisant le quotient, on obtient alors l'écart type relatif $\sigma / \overline{x}$

Variance

La formule de l'écart type peut se révéler compliquée. On a donc défini la variance. La variance V est le carré de l'écart type.

$V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$ dans le cas d'une série discrète non triée.
$V=\frac{\sum_{i=1}^nn_i(x_i-\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^nn_i}=\sum_{i=1}^nf_i(x_i-\overline{x})^2$ dans le cas d'une série discrète regroupée.
$V=\frac{\sum_{i=1}^nn_i(m_i-\overline{x})^2}{\sum_{i=1}^nn_i}=\sum_{i=1}^nf_i(m_i-\overline{x})^2$ dans le cas d'une série continue.

La disparition des racines carrées permet des calculs plus simples. On démontre que la variance peut se calculer plus simplement par les formules suivantes:

$V=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-\overline{x}^2$ dans le cas d'une série discrète non triée.
$V=\frac{\sum_{i=1}^nn_ix_i^2}{\sum_{i=1}^nn_i}-\overline{x}^2=\left(\sum_{i=1}^nf_ix_i^2\right)-\overline{x}^2$ dans le cas d'une série discrète regroupée.
$V=\frac{\sum_{i=1}^nn_im_i^2}{\sum_{i=1}^nn_i}-\overline{x}^2=\left(\sum_{i=1}^nf_im_i^2\right)-\overline{x}^2$ dans le cas d'une série continue.

Intervalle de confiance ou plage de normalité

Lorsque le caractère statistique a une distribution normale gaussienne, grossièrement en forme de cloche, l'écart type prend tout son sens.

Dans l'intervalle $[\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma]$ , on trouve 68% de la population.
Dans l'intervalle $[\overline{x}-2\sigma;\overline{x}+2\sigma]$ , on trouve 95% de la population.
Dans l'intervalle $[\overline{x}-3\sigma;\overline{x}+3\sigma]$ , on trouve 99,7% de la population.

On appelle ces intervalles les plages de normalité à niveau de confiance de 68%, 95%, 99,7%.

Question de minimum

La médiane est la valeur qui rend minimum la fonction f définie par

$f(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-X|$ dans le cas d'une série discrète triée non regroupée.

La moyenne est la valeur qui rend minimum la fonction g définie par

$g(X)=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-X)^2}$ dans le cas d'une série discrète non triée.
$g(X)=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nn_i(x_i-X)^2}{\sum_{i=1}^nn_i}}=\sqrt{\sum_{i=1}^nf_i(x_i-X)^2}$ dans le cas d'une série discrète regroupée.
$g(X)=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nn_i(m_i-X)^2}{\sum_{i=1}^nn_i}}=\sqrt{\sum_{i=1}^nf_i(m_i-X)^2}$ dans le cas d'une série continue.