Courbure
On parle de « courbure » pour une variété affine M (c'est-à-dire munie d'une connexion affine 
).
À partir de cette connexion, on définit le « tenseur de courbure », ou « tenseur de Riemann » 
. Ce tenseur est défini pour X et Y champs de vecteurs sur la variété par:
![\mathcal{R}(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}](/img/math/8d6187cd2c48bdfa28440bca09740872.png)
,
où [X,Y] est le crochet de Lie de X et Y.
est un champ d'endomorphisme de l'espace tangent TM.
Si (M,g) est une variété riemannienne, alors on peut définir une courbure à valeurs réelles par:
.
En traçant (par rapport à X et Y), on obtient la courbure de Ricci, et en traçant celle-ci, on obtient la courbure scalaire (qui est une fonction de M dans 
).
Pour l'espace euclidien, la coubure scalaire est nulle.
Pour la sphère de dimension n rayon 1, la courbure scalaire est n(n − 1).