Fonction elliptique
Dans l'analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement-périodique (périodique dans deux directions). Les fonctions elliptiques peuvent être vues comme analogues aux fonctions trigonométriques (qui ont une seule période).
Formellement, une fonction elliptique est une fonction méromorphe f définie sur ℂ pour laquelle il existe deux nombres complexes non nuls a et b tels que : a/b ne soit pas réel et pour tout z dans ℂ
- f(z + a) = f(z + b) = f(z)
De ceci il suit que :
pour tout z dans ℂ et tous entiers naturels m et n.
- f(z + ma + nb) = f(z)
La plus importante classe de fonctions elliptiques est celle des fonctions elliptiques de Weierstrass; toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci.
Les fonctions elliptiques sont les applications réciproques des fonctions intégrales elliptiques, et c'est de cette façon qu' historiquement elles ont été introduites.
Tout nombre complexe ω tel que pour tout z dans ℂ, f(z + ω) = f(z), est appelé période de f. Si les deux périodes a et b sont telles que toute autre période ω puisse être écrite sous la forme ω = ma + nb avec m et n entiers, alors a et b sont appelées les périodes fondamentales. Toute fonction elliptique possède une paire de périodes fondamentales, mais cette paire n'est pas unique.
Si a et b sont des périodes fondamentales, alors tout parallélogramme de sommets d'affixes z, z + a, z + b, z + a + b est appelé un parallélogramme fondamental. Translater un tel parallélogramme d'un multiple entier de a et b donne un parallélogramme du même type, et la fonction f se comporte identiquement sur ce parallélogramme translaté, à cause de la périodicité.
Le nombre de pôles dans tout parallélogramme fondamental est fini (et le même pour tout parallélogramme fondamental). À moins que la fonction elliptique soit constante, tout parallélogramme contient au moins un pôle, conséquence du théorème de Liouville.
La somme des ordres des pôles dans tout parallélogramme fondamental est appelée l’ordre de la fonction elliptique. La somme des résidus des pôles dans un parallélogramme fondamental est égal à zéro, donc en particulier aucune fonction elliptique ne peut avoir un ordre égal à un.
La dérivée d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique, avec les mêmes périodes. L'ensemble de toutes les fonctions elliptiques de mêmes périodes fondamentales forme un corps.