Courbe de Bézier

Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales décrites pour la première fois en 1972 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des automobiles à l'aide d'ordinateurs.

Sommaire

1 Traitement d'image

2 Traitement de texte

3 Technique

4 Références

5 Lien (en anglais)

Traitement d'image

Les courbes de Bézier composent l'outil de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription mathématique des objets. Un cercle est défini par son centre et son rayon. La géométrie de ces courbes dépend de la position des points de contrôle; en les modifiant, la forme générale de la courbe change. Les objets sont indépendants les uns des autres; leur disposition, leur forme et leur couleur peuvent être modifiées à tout moment.

Les plus importantes courbes de Bézier, sont les cubiques, qui sont utilisées en informatique pour le graphisme et dans de multiples systèmes de traitement d'image tels que PostScript, Metafont et GIMP pour dessiner des courbes « lisses » joignant des points ou des polygones de Bézier.

Traitement de texte

Les textes sont également définis par des courbes de Bézier dans le cadre des fonctions de PAO comme la mise en page complexe, la gestion de bloc de texte, les habillages ou la vérification orthographique.

Les fontes TrueType utilisent des courbes de Bézier quadratiques plus simples.

Technique

Quatre points A, B, C et D dans le plan ou dans l'espace à trois dimensions définissent une courbe de Bézier cubique. La courbe se trace en partant du point A, en se dirigeant vers B et en arrivant au point D avec la direction C-D. En général, la courbe ne passe ni par B ni par C; ces points sont simplement là pour donner une information de direction. La distance entre A et B détermine la « longueur » du déplacement dans la direction de B avant de tourner vers D.

Image manquante
Bézier.png
image:Bézier.png

La forme paramétrique de la courbe s'écrit:

P(t) = A(1 - t)³ + 3Bt(1 - t)² + 3Ct²(1 - t) + Dt³ pour 0 ≤ t ≤ 1.

Remarquons que les coefficients binomiaux apparaissent dans l'ordre [1, 3, 3, 1].

La formule est inspirée d'une distribution binomiale et montre que la courbe est toujours complètement contenue dans l'enveloppe convexe des quatre points donnés.

Les courbes de Bézier sont intéressantes pour le traitement des images pour deux raisons principales :

Les points d'une courbe de Bézier peuvent être rapidement calculés en utilisant une procédure récursive qui utilise la division par deux et les opérations de base en évitant toutes les opérations de l'arithmétique des nombres réels flottants.

$\begin{pmatrix}A'\\B'\\C'\\D'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}$

                       ,
            ,

Plus précisément, on peut décomposer la courbe P(t) en deux courbes P_L et P_R dont les points de contrôles sont respectivement (L₁, L₂,L₃,L₄) et (R₁, R₂,R₃,R₄) avec

$\begin{pmatrix}L_1'\\L_2'\\L_3'\\L_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}R_1'\\R_2'\\R_3'\\R_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\\ {1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\ {1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}$

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Bezier_rec.png
Image:Bezier_rec.png

Lors de cet appel récursif pour tracer P(t), étant donné que la courbe de Bézier passe par le premier et le dernier point de contrôle, la position des extrémités de chaque morceau (L₁, L₄=R₁ et R₄) est connue. Lorsque l'on implémente un tel tracé, le critère d'arret de la récurrence peut-être lié à la distance entre la sous-courbe à tracer et le segment [L₁,L₄] par exemple. Voir le code en C de cette construction récursive.

Les transformations affines (telles que les translations, les homothéties et les rotations) sur une courbe de Bézier peuvent être faites simplement en appliquant ces opérations respectives uniquement aux points de contrôle et en dessinant ensuite la courbe de Bézier correspondant aux points transformés, peut-être avec plus ou moins de segments interpolés dépendant du rapport d'échelle.

La généralisation du cas des courbes cubiques nous mène à des courbes d'ordre plus élevé qui demandent plus que quatre points de contrôle; cependant, elles sont peu utilisées dans la pratique. À la place, les courbes compliquées sont découpées en plusieurs courbes cubiques pour former des polygones de Bézier: la première courbe de Bezier a les points de contrôle A, B, C, et D, la seconde a les points de contrôle D, E, F, et G, et si la continuité de la dérivée est exigée en le point D (pour obtenir une courbe plus lisse), alors il faut que la direction de C-D soit égale à la direction de D-E.

Voir aussi: Spline, polynôme de Bernstein, surface de Bézier, triangle de Bézier

Références

(en français) Annexe G du livre « Fontes et codages »,
(en anglais) Paul Bourke: Bézier curves,
(en anglais) Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellente discussion sur les détails de l'implémentation; disponible gratuitement comme partie intégrante de la distribution de TeX.

Lien (en anglais)

Living Math Bezier applet