Coupure de Dedekind
D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E.
Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels).
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Définition
Une coupure de Dedekind d’un ensemble totalement ordonné E se définit par un couple (A,B), où 
et 
, et tels que :
Les points 1, 2 et 3 posent que A et B réalisent une partition de E. Par conséquent, la définition de l'un détermine entièrement l'autre.
Le point 4 pose le partage des éléments de E dans ces deux parties. Il est possible de montrer que ce point est équivalement à :
et
.
Exemples
Construction des nombres réels
Si 
, l'ensemble des nombres rationnels, on peut considérer la coupure suivante :
Cette coupure permet de représenter le nombre irrationnel 
qui est ici définit à la fois par l'ensemble des nombres rationnels qui lui sont plus inférieurs et par celui des nombres rationnels qui lui sont supérieurs.
La prise en compte de toutes les coupures de Dedekind sur 
permet une construction de l'ensemble des nombres réels 
(voir l'article Construction des nombres réels).
Ordre sur les coupures de Dedekind
Soient (A,B) et (C,D) deux coupures de Dedekind de E. On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de E en posant :
.
Il est possible de montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind de E muni de cet ordre possède la propriété de la borne supérieure, même si E ne la possède pas. En plongeant E dans cet ensemble, on le prolonge en un ensemble dont tout sous-ensemble possède une borne supérieure.