Couple (mathématiques)

En mathématiques, un couple est une collection de deux objets telle que l'on puisse distinguer lequel est le premier élément et lequel est le second. Nous pourrions appeler un couple une paire ordonnée à l'instar des anglophones, mais l'expression est ambiguë car elle peut laisser croire que les éléments doivent être différents et appartenir à un même ensemble.

Un couple dont le premier élément est a et le second b, est habituellement noté (a, b). Le premier élément s'appelle aussi première composante et le second deuxième composante.

Deux couples (a₁, b₁) et (a₂, b₂) sont égaux si et seulement si:

L'ensemble de tous les couples dont le premier élément appartient à un ensemble quelconque X et le second élément à un ensemble quelconque Y est appelé produit cartésien de ces deux ensembles et se note X×Y. Les sous-ensembles de X×Y sont des graphes.

Remarques

• Si a et b sont deux objets quelconques, alors {a, b}≠(a, b).
• Si a≠b alors pour les couples, (a, b) ≠ (b, a) ; en revanche, pour les paires, {a, b} = {b, a}.

Exemples

• (1,4) et (4, 4) sont des couples d'entiers.
• Si E={1,2,3} alors ({1}, {1,3}) et sont des couples de parties de E.
• {1, 3} et {1} ne sont pas des couples.

Généralisations

Les triplets et les n-uplets (listes ordonnées de n termes) sont définis récursivement à partir de cette définition: un triplet (a,b,c) peut être défini comme (a, (b,c) ) soit deux couples imbriqués.

Cette approche est calquée dans certains langages de programmation: il est possible de représenter une liste d'éléments comme des couples imbriqués.

Par exemple, le 5-uplet (1 2 3 4 5) (ou 5-liste) devient . Le langage de programmation LISP utilise de telles listes comme structures de données de base.

En théorie des ensembles, où il n'y a seulement que des ensembles, les couples (a, b) peuvent être définis comme étant l'ensemble { {a}, {a, b} }. L'affirmation que x est le premier élément d'un couple p peut être formulée par

pour tout Y appartenant à p, x appartient à Y

et que x est le second élément de p par

(il existe Y dans p tel que x appartient à Y) et (pour tout Y₁ dans p, pour tout Y₂ dans p, si Y₁ ≠ Y₂ alors (x n'appartient pas à Y₁ ou x n'appartient pas Y₂)).

Remarquons que cette définition (due à Wiener 1914) n'est pas encore valable pour les couples de la forme p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; dans ce cas l'affirmation (pour tout Y₁ dans p, pour tout Y₂ dans p, si Y₁ ≠ Y₂ alors (x n'appartient pas à Y₁ ou x n'appartient pas à Y₂)) est trivialement vraie, puisque nous n'avons jamais la proposition Y₁ ≠ Y₂.

Dans la formulation ZFC de la théorie des ensembles, qui inclut l'axiome de régularité, les couples (a, b) peuvent aussi être définis comme étant l'ensemble {a, {a, b}}. Aussi, l'axiome de régularité est nécessaire, puisque sans celui-ci, il est possible de considérer les ensembles x et z tels que x = {z}, z = {x}, et x ≠ z. Nous avons donc:

(x, x) = {x, {x, x}} = {x,{x}} = {x, z} = {z, x} = {z, {z}} = {z, {z, z}} = (z, z)

alors que nous voulons (x,x) ≠ (z,z).

See also: Couple (mathématiques), 1914, Correspondances et Relations, Lisp, Mathématiques, N-uplet, Paire (mathématiques), Produit cartésien, Sous-ensemble, Théorie axiomatique des ensembles