Corps fini
En algèbre, un corps fini est tout simplement un corps dont le cardinal est fini.
Remarque sur la terminologie : la définition actuelle d'un corps demande que la multiplication soit commutative. Elle abolit la distinction entre corps commutatif et corps non commutatif, que l'on trouve dans les ouvrages un peu anciens, et même encore dans des parutions récentes. Lorsqu'on introduit les corps finis, on doit revenir à l'ancienne acception de la structure de corps, où la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Sans cela, le théorème fondamental sur les corps finis (théorème de Wedderburn) n'a pas de sens... Ironiquement, ce théorème prouve que les corps finis (ancienne définition) sont en fait des corps (définition actuelle) !
Ils sont très utilisés en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie de l'information (cryptographie et codes correcteurs, par exemple).
Propriétés
Le fameux théorème de Wedderburn affirme que tous les corps finis sont commutatifs; ce sont donc des objets très agréables.
Un corps fini a une caractéristique strictement positive; et comme il est intègre, cette caractéristique est donc un nombre premier (notons-le p). Il contient donc un sous-ensemble isomorphe à 
. Et comme c'est un espace vectoriel sur ce corps, de dimension finie, son cardinal est une puissance de p: q = pr. On peut obtenir le corps fini de cardinal pn comme corps de rupture d'un polynôme de degré n sur .
Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul corps fini de cardinal q ; on le note généralement 
.
Le plus petit corps fini est 
.
Exemple : 
est le plus petit corps fini. Il est composé de deux élements, 0 et 1. Voici la définition des opérations + et . sur ce corps :
| + | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| . | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |