Racine de l'unité

Sommaire

1 Définition

2 Exemples

3 Propriétés

4 Polynômes cyclotomiques

5 Corps cyclotomiques

Définition

Pour un entier naturel non nul n donné, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution complexe de l'équation

$z^n=1\,$

d'inconnue z.

Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité. Les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des nombres complexes avec 1 comme élément neutre. Un générateur de ce groupe cyclique s'appelle une racine primitive n-ième de l'unité.

Exemples

Les racines troisièmes (ou cubiques) de l'unité sont

$\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

Les racines primitives troisièmes de l'unité sont

$\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

La première est habituellement notée j et la seconde, son conjugué, $\bar{j}$ .

Les racines quatrièmes de l'unité sont

$\left\{ 1, +i, -1, -i \right\}$

Les racines primitives quatrièmes de l'unité sont

$\left\{ +i, -i \right\}$

Propriétés

Le racines n-ièmes de l'unité peuvent s'écrire sous la forme

$e^{\frac{2 k \pi i} {n}}=\cos\left(\frac{2k \pi}{n}\right) +i\sin\left(\frac{2k \pi}{n}\right) \qquad (k,n \in \mathbb{N} \mbox{ et } 0\le k < n)$

Lorsque l'entier n est supérieur à 2, la somme de ces nombres est égale à 0, un fait simple qui est souvent utile en mathématiques. Il peut être démontré de différentes manières, par exemple en reconnaissant une somme d'une progression géométrique.

Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les nombres de la forme $e^{\frac{2k i \pi}{n}}$ où k et n sont premiers entre eux. Par conséquent, il y a $\varphi(n)\,$ racines primitives n-ièmes de l'unité différentes, où $\varphi\,$ désigne la fonction φ d'Euler.

Polynômes cyclotomiques

Les racines n-ièmes de l'unité sont précisément les racines du polynôme $P(X)=X^n-1\,$ . Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les racines du polynôme cyclotomique d'indice n

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$

où $z_1, \ldots, z_{\varphi(n)}\,$ sont les racines primitives n-ièmes de l'unité. Le polynôme $\Phi_n(X)\,$ a des coefficients entiers et est irréductible sur l'ensemble des rationnels (c’est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement positif à coefficients rationnels). Le cas particulier où n est premier, plus simple que le cas général, se déduit du critère d'Eisenstein.

Chaque racine n-ième de l'unité est une racine primitive d-ième de l'unité pour exactement un diviseur positif de n. Cela implique que

$X^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X).\;$

Cette formule représente la décomposition du polynôme $X^{n} - 1\,$ en produits de facteurs irréductibles et peut également être employée pour calculer récursivement les polynômes cyclotomiques. Les premiers polynômes cyclotomiques sont

$\Phi_1(X) = X - 1\,$

$\Phi_2(X) = X + 1\,$

$\Phi_3(X) = X^2 + X + 1\,$

$\Phi_4(X) = X^2 + 1\,$

$\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

$\Phi_6(X) = X^2 - X + 1\,$

En général, si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes de l'unité, et nous avons

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

Il faut noter que, contrairement aux apparences, tous les coefficients des polynômes cyclotomiques ne sont pas 1, -1 ou 0 ; le premier polynôme où cela se produit est Φ₁₀₅, puisque 105=3×5×7 est le premier produit de trois nombres premiers impairs.

Corps cyclotomiques

En adjoignant une racine primitive n-ième de l'unité à $\mathbb{Q}$ , nous obtenons le corps n-cyclotomique $\mathbb{F}_n$ . Ce corps contient toutes les racines n-ièmes de l'unité et est le corps de rupture sur $\mathbb{Q}$ du polynôme cyclotomique d'indice n. L'extension de corps $\mathbb{F}_n/\mathbb{Q}$ est de degré $\varphi(n)$ et son groupe de Galois est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Comme le groupe de Galois de $\mathbb{F}_n/\mathbb{Q}$ est abélien, c'est une extension abélienne. Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite tout à fait explicitement en termes de périodes gaussiennes : cette théorie tirée du Disquisitiones Arithmeticae de Gauss fut publiée beaucoup d'années avant la théorie de Galois.

Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique - un théorème de Kronecker, habituellement appelé le théorème de Kronecker-Weber parce que Weber en a établi la démonstration.