Coordonnées polaires

Le système de coordonnées polaires est un système de coordonnées dans lequel un point M de l'espace est repéré par au moins une distance et un angle.

Sommaire

1 Coordonnées circulaires (coordonnées polaires dans le plan)

2 Coordonnées sphériques

2.1 Généralisation des coordonnées sphériques : angles d'Euler

3 Coordonnées cylindriques

4 Relations entre coordonnées sphériques et cylindriques

4.1 Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques
4.2 Passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindriques

5 Voir aussi

Coordonnées circulaires (coordonnées polaires dans le plan)

Dans le plan, un point est repéré par les deux coordonnées (r,θ) ; il n'y a pas, dans ce cas, de différence entre le système sphérique et cylindrique ; on parle de coordonnées circulaires.

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Coordonnees_polaires_plan.png

Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes (x,y) se fait par :

$x = r \cdot \cos \theta$

$y = r \cdot \sin \theta$

et dans l'autre sens

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right ) + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} (y)$

où u₀ est la fonction de Heavyside qui vaut 0 si x est négatif ou nul et 1 si x est positif, et sgn(y) est le signe de y (-1 si y est négatif, +1 si y est positif).

Coordonnées sphériques

Dans l'espace à trois dimensions, un point M est repéré par :

sa distance ρ à l'origine O du répère (c'est-à-dire $||\overrightarrow {OM}||$ ) ;
l'angle θ que fait la projection du vecteur $\overrightarrow {OM}$ sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
l'angle φ que fait le vecteur $\overrightarrow {OM}$ par rapport à sa projection sur Oxy (coordonnées sphériques).

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Cordonnees_spheriques.png

Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :

posons : $r = ρ$

$x = \rho \cdot \sin\phi \cdot \cos\theta$

$y = \rho \cdot \sin\phi \cdot \sin\theta$

$z = \rho \cdot \cos\phi$

si l'on dérive, on obtient

$\begin{vmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \phi \cdot \cos\theta & \rho \cdot \cos \phi \cdot \cos\theta & -\rho \cdot \sin\phi \cdot \sin\theta \\ \sin\phi \cdot \sin\theta & \rho \cdot \cos\phi \cdot \sin\theta & \rho \cdot \sin\phi \cdot \cos\theta \\ \cos\phi & -\rho \cdot \sin\phi & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} d\rho \\ d\phi \\ d\theta \end{vmatrix}$

Dans l'autre sens :

$\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\phi = \arccos \frac{z}{\rho} = \arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

${\theta} = \arctan \frac{y}{x} + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} y$

et en dérivant :

$\begin{vmatrix} d\rho \\ d\phi \\ d\theta \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{x}{\rho} & \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\ \frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{vmatrix}$

Généralisation des coordonnées sphériques : angles d'Euler

Si l'on ne s'intéresse qu'à l'orientation dans l'espace, on n'utilise pas ρ, pas contre, il faut définir un troisième angle ω qui est la rotation autour de l'axe OM. Cette généralisaiton des coordonnées sphériques (θ,φ,ω) est en fait une définition des angles d'Euler, mais avec des rotations différentes des rotations habituelles :

rotation d'un angle θ autour de Oz, Oxyz devient Ouvz ;
rotation d'un angle φ autour de Ov, Ouvz devient Ox'vw ;
rotation d'un angle ω autour de Ox' , Ox'vw devient Ox'y'z' .

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Orientation_coordonnees_spheriques_generalisees.png

Cette définition n'est pas utilisée, mais elle est présentée ici à titre pédagogique : elle permet de comprendre simplement la notion d'orientation et d'angle d'Euler lorsque l'on a compris celle de coordonnées sphériques.

Coordonnées cylindriques

Dans l'espace à trois dimensions, un point M est repéré par

la distance r de l'origine à sa projection sur Oxy ;
l'angle θ que fait la projection du vecteur $\overrightarrow {OM}$ sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
la hauteur h du point par rapport au plan Oxy.

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Coordonnees_cylindriques.png

Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :

$x = r \cdot \cos\theta$

$y = r \cdot \sin\theta$

z = h

soit en dérivant

$\begin{vmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r \cdot \sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r \cdot \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} dr \\ d\theta \\ dh \end{vmatrix}$

Dans l'autre sens :

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan \frac{y}{x} + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} y$

h = z

et en dérivant :

$\begin{vmatrix} dr \\ d\theta \\ dh \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & 0 \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{vmatrix}$

Relations entre coordonnées sphériques et cylindriques

Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques

Le passage des coordonnées cylindriques (r,θ_cyl,h) aux coordonnées sphériques (ρ,θ_sph,φ) se fait par :

$\rho = \sqrt{r^2+h^2}$

$\phi = \arctan \frac{h}{r} + \pi \cdot u_0(-r) \cdot \operatorname{sgn} h$

θ s p h = θ c y l

soit en dérivant :

$\begin{vmatrix} d\rho \\ d\phi \\ d\theta \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\ \frac{-h}{r^2+h^2} & 0 &\frac{r}{r^2+h^2} \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} dr \\ d\theta \\ dh \end{vmatrix}$

(on a θ = θ_cyl = θ_sph)

Passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindriques

Le passage des coordonnées sphériques (ρ,θ_sph,φ) aux coordonnées cylindriques (r,θ_cyl,h) se fait par :

$r = \rho \cdot \sin\phi$

θ c y l = θ s p h

$h = \rho \cdot \cos\phi$