Coordonnées homogènes

En mathématique, des coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possible dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes d'un point de l'espace projectif de dimension n sont écrit habituellement comme (x:y:z: ... :w), un vecteur rang de longueur n+1, autre que (0:0:0: ... :0). Deux ensembles de coordonnées qui sont proportionnels dénotent le même point d'espace projectif: pour chaque scalaire non-zéro c depuis le champ du dessous K, (cx:cy:cz: ... :cw) dénote le même point. Aussi ce système de coordonnées peut être expliqué comme cela: si l'espace projectif est construit à partir d'un vecteur espace V de dimension n+1, introduit les coordonnées dans V en choisissant une base, et les utiliser dans P(V), les classes équivalentes des vecteurs proportionnel non-zéro dans V.

Prenant l'exemple de l'espace projectif de dimension trois, il y aura des coordonnées homogènes (x:y:z:w). Le plan à l'infini est habituellement identifié avec l'ensemble des points avec w = 0. Hors de ce plan nous pouvons utiliser (x/w, y/w, z/w) comme un système cartésien ordinaire; donc l'espace affin complémentaire au plan à l'infini est coordonné dans une forme familière, avec une base correspondant à (1:0:0:1), (0:1:0:1), (0:0:1:1).

Si nous essayons de faire l'intersection de deux plans définis par les équations x = w et x = 2w alors nous dériverons d'abord w = 0 et ensuite x = 0. Cela nous indiquera que l'intersection est contenue dans le plan à l'infini et consiste de tous les points avec des coordonnées (0:y:z:0). C'est une ligne et en fait la ligne joignant (0:1:0:0) et (0:0:1:0). La ligne est donnée par l'équation : $(0: y : z :0) = μ(1 - λ)(0:1:0:0) + μλ(0:0:1:0)$ où µ est un facteur scalaire. Ce dernier peut être ajusté pour normaliser les coordonnés (0:y:z:0), donc éliminant l'un des deux degrés de liberté. Le résultat est un ensemble de points avec un seul liberté comme cela est attendu d'une ligne.

Sommaire

1 Combinaisons linéaires des points décrit avec les coordonnées homogènes

1.1 les deux points sont affins
1.2 les deux points sont à l'infini
1.3 un point est affin et l'autre à l'infini

Combinaisons linéaires des points décrit avec les coordonnées homogènes

Prenons une paire de points A and B dans un espace en trois dimensions projectif, donc les coordonnées homogènes sont

$\mathbf{A} : (X_A:Y_A:Z_A:W_A),$

$\mathbf{B} : (X_B:Y_B:Z_B:W_B).$

On souhaite trouver leur combinaison linéaire $a \mathbf{A} + b \mathbf{B}$ où a et b sont des coefficients qui peuvent être ajustés à volonté. Il y a trois cas à considérer:

les deux points dépendent d'un 3-espace affin,
les deux points dépendent du plan à l'infini,
un point est affin et l'autre est à l'infini.

Les coordonnées X, Y, et Z peuvent être considérés comme numérateurs, considérant la coordonnée W peut être considéré comme un dénominateur. Pour ajouter des coordonnées homogènes il est nécessaire que le dénominateur soit commun. Autrement il est nécessaire de redimensioner les coordonnées jusqu'à ce que tous les dénominateurs soient commun.

les deux points sont affins

Si chacun des deux points sont dans un 3-espace affin, alors $W_A \ne 0$ and $W_B \ne 0$ . Leur combinaison linéaire est

$a (X_A:Y_A:Z_A:W_A) + b(X_B:Y_B:Z_B:W_B) \$

$= (a X_A:a Y_A:a Z_A:W_A) + (b X_B:b Y_B:b Z_B:W_B) \$

$= \left( a {X_A \over W_A} : a {Y_A \over W_A} : a {Z_A \over W_A} : 1 \right) + \left( b {X_B \over W_B} : b {Y_B \over W_B} : b {Z_B \over W_B} : 1 \right)$

$= \left( a {X_A \over W_A} + b {X_B \over W_B} : a {Y_A \over W_A} + b {Y_B \over W_B} : a {Z_A \over W_A} + b {Z_B \over W_B} : 1 \right) .$

les deux points sont à l'infini

Si chacun des deux points sont sur le plan à l'infini, alors $W A = 0$ et $W B = 0$ . Leur combinaison linéaire est

a (X A : Y A : Z A : W A) + b (X B : Y B : Z B : W B) = (a X A : a Y A : a Z A :0) + (b X B : b Y B : b Z B :0)

= (a X A + b X B : a Y A + b Y B : a Z A + b Z B :0).

un point est affin et l'autre à l'infini

Prenons le premier point être affin, de manière que $W_A \ne 0$ . Alors

a (X A : Y A : Z A : W A) + b (X B : Y B : Z B :0)

= a (0:0:0:0) + b (X B : Y B : Z B :0),

= (b X B : b Y B : b Z B :0),

ce qui signifie que le point à l'infini est « dominant ».

Coordonnées homogènes

Combinaisons linéaires des points décrit avec les coordonnées homogènes

les deux points sont affins

les deux points sont à l'infini

un point est affin et l'autre à l'infini

See also: Coordonnées homogènes, August Ferdinand Möbius, Espace euclidien, Espace projectif, Mathématique, Normalisation, Système de coordonnées cartésiennes, Combinaison linéaire, Numérateur, Dénominateur