Système de coordonnées
En mathématiques, un système de coordonnées permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à N dimensions, un N-uplet de scalaires. Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un quelconque corps. Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.
On considère que l'espace existe en lui-même indépendamment du choix d'un système de coordonnées particulier.
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Exemples
Un exemple de système de coordonnées permet de décrire un point P dans l'espace euclidien 
par un n-uplet :
étant des nombres réels appelés coordonnées du point P.
Si un sous-ensemble S d'un espace euclidien est appliqué de façon continue sur un autre espace topologique, cela définit les coordonnées de l'image de S. On peut parler de paramétrisation de l'image, puisque ce processus assigne des nombres aux points. La correspondance est unique seulement si l'application est bijective.
Associer une longitude et une latitude à des endroits géographiques crée un système de coordonnées. Dans ce cas, la paramétrisation n'est pas unique aux pôles nord et sud.
Transformations
Une transformation de coordonnées est une conversion d'un système à un autre pour décrire le même espace.
Certains choix de système de coordonnées peut conduire à des paradoxes, par exemple au voisinage d'un trou noir, qui peuvent être résolus en changeant de système. Cela n'est toutefois pas possible en une véritable singularité mathématique.
Systèmes courants
Quelques systèmes de coordonnées couramment utilisés :
- le système de coordonnées cartésiennes utilisé dans un espace vectoriel ou un espace affine de dimension finie.
- pour tout espace vectoriel de dimension finie et toute base, les coefficients des vecteurs exprimés dans cette base peuvent être utilisés comme coordonnées. Changer de base est une transformation de coordonnées, une transformation linéaire qui peut être définie par une matrice.
- le système de coordonnées curvilignes est une généralisation, basée sur des intersections de courbes.
- les systèmes de coordonnées polaires :
- le système de coordonnées cylindriques réprésente un point dans l'espace par un angle, une distance à l'origine et une hauteur.
- le système de coordonnées sphériques réprensente un point dans l'espace par deux angles et une distance à l'origine. Le système de coordonnées géographiques en est dérivé.
- des systèmes de coordonnées généralisées sont utilisés en mécanique lagrangienne.
Systèmes utilisés en astronomie
L'astronomie utilise plusieurs systèmes de coordonnées pour décrire la position d'un objet par rapport à un autre :
- systèmes de coordonnées célestes :
- système de coordonnées horizontales
- système de coordonnées équatoriales, basé sur la rotation de la Terre
- système de coordonnées écliptiques, basé sur la rotation du système solaire
- système de coordonnées galactiques, basé sur la rotation de la Voie lactée
- systèmes de coordonnées extragalactiques :