Convergence uniforme

Sommaire

1 Définition

1.1 Convergence uniforme
1.2 Quelques explications

2 Critère de Cauchy uniforme

3 Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé

3.1 Théorèmes
3.2 Notation
3.3 Cas où X est compact

4 Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

4.1 Théorème de Weierstrass

5 Voir aussi

Définition

Convergence uniforme

Soient $X\,\!$ un espace topologique, $(Y,d)\,$ un espace métrique et $A \subset X$ un sous-ensemble de $X \,$ .

Soit $(f_{n})_{n} \,\!$ une suite de fonctions définies sur $X\,\!$ et à valeurs dans $Y\,\!$ et $f\,\!$ une fonction définie sur $X\,\!$ à valeurs dans $Y\,\!$ . On dit que le suite $(f_{n})_{n} \,$ converge uniformément vers $f \,$ sur $A \,$ si :

(1) $\forall \epsilon > 0, \exists N_{\epsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{n}(x),f(x)) < \epsilon$

Remarque: la proposition $(1)$ est équivalente à :

$\forall \epsilon > 0, \exists N_{\epsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow \sup_{x \in A}( d(f_{n}(x),f(x)) < \epsilon$

Quelques explications

On peut se demander a posteriori quelle est la difference entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions $(f_{n})_{n} \,$ converge simplement vers $f \,$ sur $A \,$ si :

$\forall x \in X,\forall \epsilon > 0, \exists N_{\epsilon,x} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x)) < \epsilon$

Ici, l'indice $N_{\epsilon,x}\,$ depend de $x \in A \,$ alors que dans la proposition $(1)\,$ , l'indice $N_{\epsilon}\,$ n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine aux non-initiés, mais elle est pourtant essentielle:

Dans le cas de la convergence simple, pour tout élement $x \in A \,$ , on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(x),f(x))\,$ devient très petite. A priori, si on choisit un $y \in A \,$ autre que x alors le rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(y),f(y))\,$ devienne très petite va être différent.
Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance $d(f_{n}(x),f(x)) \,$ devienne très petite pour n'importe quel $x \in A \,$ à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en générale fausse sauf dans des cas très particuliers ( voir Théorèmes de Dini ).

Critère de Cauchy uniforme

Maintenant, on suppose en plus que l'espace métrique $(Y,d)\,$ est un espace complet. C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques, comme par exemple de $(\R,| \cdot |)\,$ la droite réelle munie de sa valeur absolue ou encore plus généralement de tout espace de Banach.

Sous ces conditions, on montre qu'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément sur $A \,$ si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

$\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon} \in \N,\forall p \in \N, \forall q \in \N, (p,q \ge N_{\epsilon}) \Rightarrow \forall x \in A, d(f_{p}(x),f_{q}(x)) < \epsilon$

Comme dans le cas des suite de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.

Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé

On suppose maintenant que $X\,$ est un espace métrique et que $(Y,||\cdot||)$ est un espace vectoriel normé: c'est un espace métrique dont la topologie est issue de la distance $d\,$ telle que :

$\forall y \in Y, \forall y' \in Y, d(y,y')=||y-y'||$ .

La convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ sur une partie $A\,$ inclus dans $X\,$ s'écrit donc :

$\forall \epsilon > 0, \exists N_{\epsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow \forall x \in A, ||f_{n}(x)-f(x)|| < \epsilon$

Ce qui est encore équivalent à :

$\forall \epsilon > 0, \exists N_{\epsilon} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon} \Rightarrow \sup_{x \in A}( ||f_{n}(x) -f(x)||) < \epsilon$

Théorèmes

On démontre les énoncés importants suivants:

Si $(f_{n})_{n}\,$ est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur $X\,$ vers une fonction $f\,$ alors $f\,$ est continue sur $X$

Si $(f_{n})_{n}\,$ est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur tout compact vers une fonction $f\,$ alors $f\,$ est continue sur $X$

Ce deuxième énoncé est d'une importance capitale en analyse, car il est à la base de nombreux résultats, notamment sur la continuité de la fonction exponentielle définie comme une somme infinie de termes dans les espaces de Banach.

Si $X=[a,b]\,$ est un intervalle de $\R$ , si $Y=\R$ alors si une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ intégrables converge uniformément vers une fonction $f\,$ intégrable alors :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \int_{a}^{b}f_{n}(x).dx = \int_{a}^{b}f(x).dx$

Notation

On introduit la notation suivante : $\forall A \subset X, \forall f: X \rightarrow Y, ||f||_{\infty,A}= \sup_{x \in A} ( ||f(x)|| )$

Il s'en suit directement qu'une suite de fonctions $(f_{n})_{n}\,$ converge uniformément vers une fonction $f\,$ si et seulement si:

$\lim_{n \rightarrow + \infty} ||f_{n}-f||_{\infty,A}=0$

$\triangle$ : $||\cdot||_{\infty,A}$ n'est en générale pas une norme sur l'espace vectoriel des fonctions de $A\,$ à valeurs dans $Y\,$ .

Cas où X est compact

On suppose désormais que X est un espace métrique compact, $(Y,||\cdot||)$ étant toujours un espace vectoriel normé. On note $\mathcal{C}(X,Y)$ l'ensemble des fonctions continues définies sur $X\,$ et à valeurs dans $Y\,$ .

Alors : $(\mathcal{C}(X,Y),||\cdot||_{\infty,X})$ est un espace vectoriel normé. Si de plus, $Y\,$ est complet alors $\mathcal{C}(X,Y)$ est lui aussi complet.

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

On choisit dans cette section $X=[a,b]\,$ un intervalle compact de $\R$ et $Y=\R$ . Puisque $\R$ munit de la valeur absolue est complet, il en resulte que l'espace vectoriel normé $\mathcal{C}([a,b],\R)$ muni de la norme $||\cdot||_{\infty,[a,b]}$ est complet.

Théorème de Weierstrass

Le théorème de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur $[a,b]\,$ par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisement, si $f\,$ est une fonction continue sur $[a,b]\,$ alors:

$\forall \epsilon>0, \exists P_{\epsilon} \in \R[X], ||f-P_{\epsilon}||_{\infty,[a,b]}\leq \epsilon$ .

où $\R[X]$ désigne l'ensemble des polynomes à coefficients réels.

Convergence uniforme

Définition

Convergence uniforme

Quelques explications

Critère de Cauchy uniforme

Convergence uniforme de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé

Théorèmes

Notation

Cas où X est compact

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b]

Théorème de Weierstrass

Voir aussi

See also: Convergence uniforme, Continuité, Convergence simple, Espace compact, Espace complet, Espace de Banach, Espace métrique, Espace topologique, Espace vectoriel, Espace vectoriel normé