Continuité uniforme

La notion de continuité uniforme est un « raffinement » de la notion de continuité. Contrairement à la continuité simple, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts, mais une notion métrique, c'est-à-dire qu'elle fait intervenir des distances.

Sommaire

1 Continuité uniforme dans un espace métrique

1.1 Définition
1.2 Relation avec la continuité
1.3 Exemples

2 Résultats importants

2.1 Fonctions lipschitziennes
2.2 Théorème de Heine

Continuité uniforme dans un espace métrique

Définition

Soient $(E,d) \,\!$ et $(F,\delta) \,\!$ deux espaces métriques, et $f \ : \ E \rightarrow F \,\!$ une fonction de $E \,\!$ vers $F \,\!$ .

On dira que $f \,\!$ est uniformément continue si et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) \leq \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) \leq \varepsilon \,\!$

NB: La continuité « simple » de $f \,\!$ s'écrit par comparaison :

$\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) \leq \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) \leq \varepsilon \,\!$

On comprend alors le sens du mot « uniforme » : le choix de $\eta \,\!$ en fonction de $\varepsilon \,\!$ ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur $E \,\!$ .

Cas des fonctions à variables réelles :

Dans le cas où l'espace de départ $E \,\!$ et l'espace d'arrivée $F \,\!$ sont égaux à $\mathbb R$ , la définition s'écrit :

$\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| \leq \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon \,\!$

Relation avec la continuité

Exemples

Définissons les fonctions :

$f_1 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto \sqrt{x} \,\!$

$f_2 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto x^2 \,\!$

$f_1 \,\!$ est uniformément continue ; en effet :

Soit $\varepsilon > 0 \,\!$ . Comme la fonction $f_1 \,\!$ est concave on a pour tous $x,y \in \R_+ \,\!$ :

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \,\!$ .

Posons alors $\eta = \varepsilon^2 \,\!$ ; si $x,y \in \R_+ \,\!$ vérifient $|x-y|\leq\eta \,\!$ alors :

$|f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!$ , ce qu'il fallait démontrer.

$f_2 \,\!$ n'est pas uniformément continue ; en effet montrons que (voir Négation logique) :

$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_1(x)-f_1(y)|>\varepsilon \,\!$ .

En fait $\varepsilon = 1 \,\!$ convient. Pour n'importe quel $\eta > 0 \,\!$ on choisit $x=\frac{1}{\eta}+\eta \,\!$ et $y=\frac{1}{\eta} \,\!$ . Alors $|x-y| \leq \eta \,\!$ et $|f_2(x)-f_2(y)|=|(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2)-\frac{1}{\eta^2}|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!$ , ce qu'il fallait démontrer.