Construction des nombres réels

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Compactifié d'Alexandroff

Construction du complété d'un espace

Il existe différentes constructions des nombres réels, dont deux méthodes rigoureuses présentées ci-dessous

via les coupures de Dedekind,
via les suites de Cauchy.

Sommaire

1 Construction intuitive à partir des nombres rationnels

2 Construction par coupures de Dedekind

3 Construction via suites de Cauchy

3.1 Définition en tant que corps
3.2 Valeur absolue
3.3 Densité des rationnels
3.4 Complétude

Construction intuitive à partir des nombres rationnels

Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale $x = n + 0. d 1 d 2 d 3 ...$ , où $n$ est un entier, chaque $d i$ est un chiffre entre 0 et 9, et la séquence ne se termine pas par une infinité de 9. La définition de $x$ est alors le nombre qui satisfait cette double inéquation pour tout k:

$n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + ... + \frac{d_k}{10^k} \leq x < n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + ... + \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^k}$

Construction par coupures de Dedekind

Une coupure de Dedekind dans le corps $\mathbb Q$ des rationnels est un couple de 2 sous-ensembles non-vides A et B tels que:

$A\cap B = \empty$
$A\cup B = \mathbb{Q}$
$\forall x\in A, \forall y\in B, x < y$

On voit ainsi que tout nombre rationnel a définit deux coupures :

(A,B) telle que A est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à a et B l'ensemble des rationnels supérieurs ou égaux à a
(A',B') telle que A' est l'ensemble des rationnels inférieurs ou égaux à a

et B' l'ensemble des rationnels strictement supérieurs à a

On munit l'ensemble des coupures d'un ordre total tel que les coupures définies par un nombre rationnel sont ordonnées dans le même ordre que ces rationnels, et d'une structure d'anneau compatible avec celle de ces même rationnels.

Pour construire $\mathbb{R}$ , on va postuler pour toute coupure (A,B), l'existence d'un nombre qui est supérieur à tout rationnel de A et inférieur à tout rationnel de B.

Ainsi, on a construit un ensemble $\mathbb{R}$ totalement ordonné dont l'ordre, qui est celui des coupures qu'il définit, étend celui de $\mathbb{Q}$ qu'il contient.

$\mathbb{R}$ possède les propriétés algébriques d'anneau définies sur les coupures et étend $\mathbb{Q}$ en tant qu'anneau. On démontre de plus que l'anneau défini ainsi est un corps de caractéristique nulle qui étend la structure de corps de $\mathbb{Q}$ .

Construction via suites de Cauchy

Cette construction est la plus difficile à aborder, mais la plus rigoureuse et celle communément utilisée dans la construction des mathématiques.

Définition en tant que corps

Il faut prendre garde à un point : lorsque l'on fait tendre quelque chose vers une limite ici, c'est par des $\varepsilon>0$ rationnels que l'on va encadrer, car on ne dispose pas encore des réels!

On va dans un premier temps considérer $E$ l'ensemble des suites rationnelles de Cauchy.

On plonge $\mathbb Q$ dans $E$ via les suites constantes. On notera $(a)$ la suite constante égale à $a\in\mathbb Q$ .

On munit cet ensemble d'une 'addition' et d'une 'multiplication', définies par:

$(a+b)_n=a_n+b_n \,$

et $(ab)_n=a_nb_n \,$

(Il convient de s'assurer que ces opérations définissent bien des éléments de $E$ , ce qui est effectivement le cas).

L'ensemble $E$ muni de ces deux lois de composition internes est un anneau unitaire, $(0)$ étant son élément neutres et $(1)$ son unité.

Tous les éléments ne sont pas inversible; par exemple toute suite contenant un zéro est non-inversible. Pour les suites qui ne tendent pas vers $0$ (et dont on est donc sûr qu'elles ne s'annulent qu'un nombre fini de fois), on peut définir une autre suite, que l'on note comme suite inverse (bien que ça n'en soit pas une):

$(a^{-1})_n=a_n^{-1}$

là où elle est non-nulle, et zéro là où elle l'est. C'est bien un élément de notre espace $E$ .

On définit une relation d'équivalence entre deux éléments $a$ et $b$ de $E$ par:

$\lim_na_n-b_n=0$

Il est clair qu'elle est compatible avec les lois données; donc l'ensemble quotient, qui est le $\mathbb R$ cherché, est toujours un anneau unitaire, mais c'est même un corps : en effet toute suite non-nulle dans le quotient, provient d'une suite de Cauchy qui ne converge pas vers $0$ ; et pour ces dernière, le presque-inverse devient, lors du passage au quotient, un véritable inverse.

Valeur absolue

Si $(a_n)_n \,$ est une suite de Cauchy rationnelle, $(|a_n|)_n \,$ est une suite de Cauchy rationnelle ; il est clair que cela définit une valeur absolue sur $\mathbb R$ .

Densité des rationnels

Avant de parler de densité des rationnels dans les réels, on va montrer que les rationnels peuvent être vus comme des réels : on identifie chaque rationnel à la classe d'équivalence de sa suite constante. Cette identification respecte bien la structure de corps de $\mathbb Q$ , et respecte aussi sa valeur absolue.

On peut maintenant parler de denstié, et on va prouver que si $x\in\mathbb R$ , il existe une suite de rationnels qui converge vers $x \,$ .

Soit $(x_n) \,$ une suite de Cauchy de rationnels représentant $x \,$ . Il n'est pas très difficile de voir que la suite des classes d'équivalence des suites constantes: $((x_n))_n \,$ converge vers $x \,$ .

En particulier, maintenant que l'on connaît cette densité, on sait que l'on peut parler de limite en termes de comparaison rationnelle comme de comparaison réelle : ces définitions sont équivalentes.

Complétude

Soit $(x n) n$ une suite de Cauchy réelle. On veut montrer que cette suite converge.

Soit $(x n, m) m$ une suite de Cauchy rationnelle représentant $x n$ . On va construire la limite cherchée via l'argument de la diagonale de Cantor.