Construction des nombres complexes
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Le but de cet article est de présenter, d'une part la construction, facile, des nombres complexes, et d'autre part, la démonstration, parfois un peu plus compliquée, qu'il s'agit bien d'un corps algébriquement clos.
| Sommaire |
Définition en tant que corps valué
En tant que simple corps, les complexes sont aisés à définir; cela fait appel à la notion d'extension algébrique par adjonction de racines:
![\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)](/img/math/afe597b4e88f4cc6e31b697729fb3421.png)
La classe de X est notée i (parfois, par exemple en électricité, les physiciens préfèrent utiliser j, et réservent la lettre i à une intensité). Elle vérifie comme on le souhaitait la relation: i2 = − 1.
Ceci définit une extension des nombres réels, de dimension 2 (on peut donc bien écrire de façon unique tout nombre complexe sous la forme a + bi où a et b sont des réels). On va la munir de la norme d'extension algébrique la plus naturelle dans ce cadre: 
. Elle prolonge bien celle des réels, et en tant qu'espace vectoriel de dimension finie sur 
, on a bien un espace complet.
Preuve de la clôture
via l'étude locale d'un polynôme
On raisonne par l'absurde : soit P un polynôme non constant n'ayant aucune racine dans le corps des complexes. On note f(z) le module complexe de P(z), et 
. Montrons que cet infimum est atteint, et qu'on ne peut pas avoir 
, on aura ainsi prouvé que P s'annule, d'où contradiction.
P(z) tend alors vers l'infini en module, lorsque z tend vers l'infini. Il existe donc une constante M > A + 1 et un réel r tels que f > M en dehors de la boule de centre 0 et de rayon r. Il suffit donc de considérer l'infimum de f sur cette boule. Or, elle est compacte, et f est continue, donc l'infimum est atteint en z0.
Raisonnons un peu schématiquement : si on reste très proche de z0, on a « presque » P(z0 + h) = P(z0) + P'(z0)h, avec, par hypothèse absurde, | P(z0) | = A > 0. On écrit h = ρexpiθ et on choisit θ de telle sorte que P'(z0)expiθ et P(z0) aient même argument. On a alors
Où K est réel, par choix de θ. Quitte à changer θ en θ + π, on peut supposer que K est négatif. Alors, pour ρ suffisamment petit pour que l'approximation faite soit valide, on a | P(z0 + h) | < A. Contradiction.
via les fonctions holomorphes
On raisonne par l'absurde : soit P un polynôme non constant n'ayant aucune racine dans le corps des complexes. Alors on peut définir son inverse 
sur 
tout entier. Q est dévelopable en série entière au voisinage de tout point, donc holomorphe. De plus, en module, P(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers l'infini, donc Q(z) tend vers zéro en l'infini. Q étant de plus continue, elle est bornée sur entier. Etant holomorphe, elle est constante, par théorème de Liouville. Contradiction.