Construction des entiers naturels
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Il existe plusieurs constructions classiques des entiers naturels. La construction des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple. Partant de la théorie des ensembles, on identifie 0 à l'ensemble vide, puis on construit le successeur d'un entier naturel comme l'ensemble des entiers naturels qui le précèdent.
Tout débute avec l'ensemble vide, 
.
On a 
où la fonction card donne le cardinal de l'ensemble, c'est-à-dire le nombre d'éléments qui le composent.
Il existe maintenant un élément, le 0, que l'on peut mettre dans l'ensemble de départ. On peut donc former l'ensemble {0}, avec card({0}) = 1
Et ainsi de suite...
card({0,1}) = 2
card({0,1,2}) = 3
card({0,1,2,3}) = 4
...
En ajoutant à chaque fois le cardinal de l'ensemble, on crée un nouvel ensemble, plus grand d'un élément. En répétant la procédure à l'infini, on obtient l'ensemble des entiers naturels.
On peut vérifier que l'ensemble ainsi construit satisfait les axiomes de Peano
Pour la construction de l'addition, voir addition des entiers naturels.
Voir aussi entier naturel