Construction des anneaux de polynômes

On va considérer les suites d'éléments de $\mathbb A$ , stationnaires à $0$ . Cet ensemble peut-être vu comme la partie de l'ensemble $\mathbb A^\mathbb N$ définie ainsi:

$\left\{ (a_n)_n\in \mathbb A^\mathbb N/\exists N\geq0/\forall n\geq N, a_n=0 \right\}$

C'est notre ensemble $\mathbb A[X]$ .

Définition de la structure d'anneau

Commençons par définir ce mystérieux $X$ : il s'agit de la suite nulle partout, sauf en $1$ où elle vaut $1$ . On note par ailleurs que l'on peut envoyer $\mathbb A$ dans $\mathbb A[X]$ tout simplement en considérant la fonction qui en $0$ vaut l'élément considéré, et est nulle partout ailleurs.

Pour définir la structure de groupe sur $\mathbb A[X]$ , on se contente de reprendre la structure héritée naturellement par le fait que ce sont des suites à valeurs dans un anneau: $(a + b) n = (a) n + (b) n$ . L'élément neutre est la suite $(0)$ .

La structure multiplicative est un peu plus délicate; en fait, pour connaître la formule, il faut déjà savoir de quoi on souhaite parler:

(a * b) n = \sum a k b l k + l = n

le fait que cette formule donne bien une loi de composition interne associative et commutative, dont le polynôme $1$ est élément neutre, ainsi que la propriété de distributivité par rapport à l'addition définie précédemment; tout ceci est facile à vérifier.

Et avec cette addition et cette multiplication, il est clair que l'on a bien une structure d'anneau.

Définition de la structure d'algèbre

L'espace $\mathbb A^\mathbb N$ est muni d'une structure naturelle de module; il est clair que cette structure est compatible avec l'addition (puisque c'est la même addition!), et il n'est pas difficile de voir qu'elle est aussi compatible avec le produit. Ce qui montre que l'anneau $\mathbb A[X]$ defini précédemment est en fait une $\mathbb A$ -algèbre!

Il reste à remarque que

X n

est la suite nulle partout sauf en

n

, où elle vaut

1

; en particulier, tout polynôme

P = (a n) n

s'écrit donc de façon unique: :

P = \sum a n X n n

On retrouve là l'écriture habituelle des polynômes.

Division euclidienne

On se donne deux polynômes $P$ et $U$ . On ne fait pas d'hypothèse sur le premier, mais on demande que le coefficient dominant du second soit inversible.

On souhaite prouver qu'il existe un unique couple de polynômes $Q$ et $R$ réunissant les deux conditions suivantes:

$P = U Q + R$ ;
$d e g R < d e g U$ .

Unicité

Supposons que l'on a deux couples $(Q 1, R 1)$ et $(Q 2, R 2)$ qui vérifient les conditions requises; on a alors, en calculant $P - P$ : $U (Q 1 - Q 2) = R 2 - R 1$ .

Mais si on compare les degrés des polynômes dans les membre gauche et droit de cette égalité, on doit alors clairement avoir: $R 1 = R 2$ et $U (Q 1 - Q 2) = 0$ . Donc on a déjà l'unicité du reste.

Ce serait alors une erreur de conclure que l'on a aussi $Q 1 = Q 2$ car $U\neq0$ ; car on n'a aucune garantie que l'on se trouve dans un anneau intègre! En revanche, on sait que le coefficient dominant de $U$ est inversible, et c'est cette remarque qui permet de conclure à l'unicité du quotient!

Exemple: dans $\mathbb Z/6\mathbb Z[X]$ , le produit de $2 X$ par $3 X 2$ est nul.

Existence

On la montre par récurrence sur le degré du polynôme $P$ :

si ce degré est plus petit que le degré de $U$ , il suffit de prendre $Q = 0$ et $R = P$ ;
s'il est supérieur ou égal, notons $a$ le coefficient dominant de $P$ , et $b$ celui de $U$ ; alors si on regarde le polynôme $P - a b - 1 U X d e g P - d e g U$ , on voit qu'il est de degré strictement inférieur à celui de $P$ , donc par hypothèse de récurrence, il s'écrit $Q 2 U + R 2$ ; mais alors

P = (Q 2 + a b - 1 X d e g P - d e g U) U + R 2

Remarques

Pour l'unicité, on aurait pu supposer que le coefficient dominant de $U$ n'était que régulier; en revanche pour l'existence, on a visiblement besoin de cette inversibilité. Il n'est pas difficile de se convaincre qu'elle était nécessaire...
L'unicité est traitée en premier, car sans le dire, c'est elle qui pointe vers l'existence: elle utilise la notion de degré d'un polynôme, donc c'est ainsi qu'il fallait attaquer l'existence.

(a * b)_n =	∑	a_kb_l
	k + l = n

P =	∑	a_nXⁿ
	n