Constante d'Euler-Mascheroni

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)

qu'on peut condenser en :

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx

Valeur approchée

Les 100 premières décimales de cette constante sont

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495

En 1781, Leonhard Euler avait obtenu les 16 premières décimales grâce au procédé de sommation d'Euler-Mac Laurin. Pour sa part, Lorenzo Mascheroni détermina 32 décimales pour son ouvrage Geometria del compasso qui contribua à faire connaître la constante. A ce jour, on ne sait pas si cette constante est, ou non, rationnelle.

Formules diverses

Cette constante intervient dans nombre de formules :

\gamma = - \int_0^\infty {e^{-x}\ln(x)}\,dx = \int_0^1 {1 - e^{-x} \over x}\,dx - \int_1^\infty {e^{-x} \over x}\,dx = \int_0^\infty {1 \over e^x-1} - {e^{-x} \over x}\,dx
\int_0^\infty {e^{-x}\ln^2(x)}\,dx = \gamma^2 + {\pi^2 \over 6}
\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt = {1 \over {ze^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty (1+z/n)e^{-z/n}}}
E_1(z) = \int_z^\infty {e^{-t} \over t}\,dt = \int_1^\infty {e{-zt} \over t}\,dt = e^{-z}\int_0^\infty {e^{-zt} \over {1+t}}\,dt
= {e^{-z} \over z} \int_0^\infty {e{-t} \over {1+t/z}}\,dt = - lnz - \gamma + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}z^n \over n.n!}
\Psi(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)} = - \gamma - {1 \over z} + \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} - {1 \over n+z}

En particulier, \Psi(1) = \Gamma'(1) = - \gamma \, et \sum_{k=1}^n {1 \over k}= \Psi(n+1) + \gamma

See also: Constante d'Euler-Mascheroni, 1781, Fonction Gamma d'Euler, Leonhard Euler, Limite, Logarithme naturel, Table de constantes mathématiques, Théorie des nombres, Série harmonique, Sommation d'Euler-Mac Laurin