Connexité par arcs
La notion topologique de connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin.
| Sommaire |
Chemins
Avant de définir la connexité par arcs il faut définir ce qu'on appelle « relier par un chemin ». Selon le cadre où l'on se trouve on peut considérer des chemins particuliers.
Chemins dans un espace topologique
Si 
est un espace topologique et si 
et 
sont deux points de , on appelle chemin d'origine et d'extrémité toute application continue ![\gamma : [0,1] \rightarrow E \,\!](/img/math/db93627744bbaf0fa6ed607653ec15fe.png)
telle que 
et 
.
On dit que et sont reliés si et seulement s’il existe un chemin d'origine et d'extrémité .
Propriété : La relation « est relié à » est une relation d'équivalence :
- est relié à ;
- (grâce au chemin constant
![\forall t \in [0,1],\, \gamma(t)=x \,\!](/img/math/a95f2f210115ea69e6d42d217380782d.png)
)
- si est relié à alors est relié à ;
- (grâce au chemin opposé
![\forall t \in [0,1],\, \bar{\gamma}(t) = \gamma (1-t)\,\!](/img/math/c69388f16ff9cb7340c5113fd6761056.png)
)
- si est relié à et est relié à
alors est relié à ;
- (si
relie à et 
relie à alors le chemin composé 
défini par 
si 
et 
si 
relie à )
Chemins dans un espace vectoriel normé
Dans le cas où l'espace ambiant est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.
- Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne si et seulement il peut s'écrire
![\forall t \in [0,1],\, \gamma(t) = x + t \vec{u} \,\!](/img/math/cd1c3897dd786ab2dabf5c60e0f6b131.png)
. 
est appelé vecteur directeur de 
. Le support du chemin est alors un segment de droite.
- Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal si et seulement s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
- Chemins de classe
: un chemin peut être de classe avec 
. En fait tout chemin est de classe 
c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe avec 
sera dit de plus régulier si ![\forall t \in ]0,1[ ,\, \gamma ' (t) \neq 0 \,\!](/img/math/d94a2e9637a74383207ad5cc740fedf2.png)
. Un chemin régulier de classe 
est dit chemin lisse.
Connexité par arcs
Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.
Définition
Un espace topologique est dit connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de est relié par un chemin.
Une partie 
de est dite connexe par arcs si et seulement tout couple de points de sont relié par un chemin restant dans .
Une partie d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (resp. par arcs ) si deux points quelconques de peuvent être reliés par un chemin polygonal (resp. de classe ).
La connexité par arcs rectilignes correspond à la convexité.
Lien avec la connexité
En apparence la connexité par arcs est très proche de la connexité ; on pourrait croire que « pouvoir toujours relier deux points » est équivalent à « être d'un seul tenant ». En fait on peut seulement affirmer : tout espace connexe par arcs est connexe.
La différence est subtile, et il est difficile d'exhiber un contre-exemple pour invalider la réciproque. Le contre-exemple classique est le suivant :
- on définit la fonction continue
![f : ]0,1] \rightarrow \R,\, x \mapsto \cos (\frac{1}{x}) \,\!](/img/math/fa69de9b8935d05068b70a08feb513ce.png)
;
- on note
![\Gamma = \{ (x,f(x)) | x \in ]0,1] \} \,\!](/img/math/eace0a031d09527054f38df6ca555dd9.png)
le graphe de 
;
- on note
![C = \bar{\Gamma} = \Gamma \cup \left( \{ 0 \} \times [-1,1] \right) \,\!](/img/math/7c045d634f10f6ce50dade8be313fd44.png)
l'adhérence de 
.
Alors est connexe comme graphe d'une fonction continue, 
est connexe comme adhérence d'une partie connexe. Mais on peut montrer que n'est pas connexe par arcs.
Cependant tout ouvert connexe de 
est connexe par arcs.
Lien avec la continuité
La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues.
En effet si et 
sont deux espaces topologiques, et si 
est une application continue, alors pour toute partie connexe par arcs 
de , l'image 
est elle aussi connexe par arcs.
Si 
on peut trouver 
et 
dans tels que 
et 
, et un chemin ![\gamma : [0,1] \rightarrow X \,\!](/img/math/bb13df9a6c201d8e063b7ee21c873bec.png)
reliant à . Alors l'application composée ![\gamma' = f \circ \gamma : [0,1] \rightarrow f(X) \,\!](/img/math/101674e3a4c933b0d3087a2369e924bd.png)
est continue, et relie à .
On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :
- la connexité par arcs polygonaux est conservée par les applications linéaires et par les applications affines ;
- la connexité par arcs est conservée par les -difféomorphismes.
Exemples
- Dans un espace vectoriel normé, une partie convexe ou une étoilée est connexe par arcs.
- Un cercle est connexe par arcs lisses mais pas par arcs polygonaux.
- Un carré est connexe par arcs polygonaux mais pas par arcs lisses.
- Il est assez facile de voir que le plan privé des points à coordonnées rationnelles :
est connexe par arcs polygonaux (en exercice). On peut démontrer qu'en réalité cet ensemble est connexe par arcs (plus difficile).
Applications localement constantes
Définition
X est une partie d'un espace vectoriel normé E. Y est une partie d'un espace vectoriel normé F.
Une application f de X dans Y est dite localement constante sur X si pour tout 
, il existe un voisinage de x sur lequel f est constante.
Une fonction localement constante sur X n'est pas forcément constante sur X. Intuitivement, c'est le cas si l'ensemble X est « en un seul morceau », ce que montre le théorème suivant
Théorème
Si X est connexe par arcs, toute application localement constante sur X est constante.