Conjecture d'Euler

En mathématiques, la conjecture d'Euler, proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n^e n'est pas une puissance n^e.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

$\forall n > 2, \forall (a_1, \dots, a_{n-1}) \in (\mathbb{N}^*)^{n-1}, \forall m > 1, \sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne m^n$

Cette conjecture fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :

275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5

En 1988, Noam Elkies trouva une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

26824404 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

958004 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

Conjecture d'Euler

See also: Conjecture d'Euler, 1769, 1988, Entier naturel, Leonhard Euler, Mathématiques, Ordinateur, Noam Elkies, Roger Frye