Conique
Propriétés géométriques des coniques
Excentricite.png
Soient D une droite et F un point distinct de D. On appelle conique de droite directrice D et de foyer F l'ensemble des points M du plan P (défini comme l'unique plan contenant la droite D et le point F) vérifiant :
![[1] \qquad \frac{d(M,F)}{d(M,D)} = e \qquad e \in\mathbb{R}^+](/img/math/6cff336ebf77a96657733bd52e8542ba.png)
où
- d(M,F) mesure la distance du point M au point F
et
- d(M,D) mesure la distance du point M à la droite D
La constante e est appelée excentricité de la conique.
Le nom « conique » vient du fait que ces courbes peuvent s'obtenir en prenant l'intersection d'un cône avec un plan.
Image manquante
Coniques_cone.png
Image:coniques cone.png
Mise en équation
Soit H la projection orthogonale du point F sur la droite D. Dans le plan P on défini alors le repère orthogonal (H, (HF), D).
Soit p la distance de H à F, on associe au point F dans le repère précédent les coordonnées (p,0).
Pour un point M de coordonnées (x,y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :
![[2] \qquad d(M{x \choose y},F{p \choose 0}) = \sqrt{ (x-p)^2 + (y-0)^2 }](/img/math/e949dcbe4eb9eea46c6b5371f789e319.png)
![[3] \qquad d(M{x \choose y},D_{(x=0)}) = \sqrt{ (x-0)^2 }](/img/math/4bfe8e54666e1aeec5a007ccded40d94.png)
ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :
![[4] \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^{2}x^2](/img/math/863d4c112261b015b7790ba0e0e7b7ab.png)
soit après simplification :
![[5] \qquad x^2(1-e^2) + y^2 - 2xp + p^2 = 0](/img/math/0b2baaff7a2f5336959008d5545c4e73.png)
Cometes_trajectoires_4.png
En fonction des valeurs de e on obtient 4 types de courbes :
Si F est sur D ou e = 0, on obtient des coniques dégénérées:
- e = 0 et D finie un point (le cercle a pour directrice une ligne à l'infini)
- e < 1 un point
- e = 1 une ligne
- e > 1 deux lignes intersectantes
Une autre conique dégénérée est deux lignes parallèles. Les points avec e = 0 et 0 < e < 1 se distinguent en l'imaginaire; celui-là se compose de deux lignes x = iy et x = − iy, auxquelles le cercle est asymptote, tandis que celui-ci se compose de deux autres lignes imaginaires.