Conduction thermique

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Formulaire

La conduction thermique est le mode de transfert de chaleur provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement appréciable de matière. C'est en fait l'agitation thermique qui se transmet de proche en proche, une molécule ou un atome cédant une partie de son énergie cinétique à son voisin (la vibration de l'atome se ralentit au profit de la vibration du voisin).

Loi de Fourier

Ce transfert de chaleur spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse obéit à la loi dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822).

Le flux surfacique est proportionnel au gradient de température.

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Conduction_fourier.png

dans la direction (0,x) nous pouvons exprimer la variation de chaleur en x :

$dQ_x= - \lambda_x\ \frac{\delta T}{\delta x} dS_x dt\,$

La variation de flux thermique est alors :

$d\Phi= \frac{dQ_x}{dt}= - \lambda_x \frac{\delta T}{\delta x} dS_x\,$

Nous pouvons en déduire la densité de flux :

$\varphi= \frac{d \Phi}{d S_x}\,$

$\varphi= - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,$

La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. A est l'aire traversée par le flux. Avec les unités du système international :

La conductivité thermique λ s'exprime elle en J.m^-1.K^-1.s^-1 ou, ce qui revient au même, en W.m^-1.K^-1.

Nota : pour les définitions précises de flux et densité de flux voir l'article transfert de chaleur

Conductivité thermique

Voir l'article détaillé : Conductivité thermique.

Équation de la chaleur

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur. Elle est ici donnée sous sa forme unidimensionnelle :

$\frac{\partial }{\partial x} \left (-\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$

où :

P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m^-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents...
ρ est la masse volumique du matériau en kg.m^-3
c est la chaleur massique du matériau en J.kg^-1.K^-1

Au cas où P est nulle et où l'on fait de plus l'approximation que la conductivité thermique λ ne dépend pas de la position :

$-\lambda\,\frac{\partial }{\partial x} \left (\frac{\partial T}{\partial x}\right) = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$

Soit, en régime permanent (lorsque la température n'évolue plus avec le temps) :

$-\lambda\,\frac{\partial }{\partial x} \left (\frac{\partial T}{\partial x}\right) = 0$

La solution de cette équation est alors :

T = A x + B

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites

Étude de la conduction stationnaire

Le cas du mur

Mur simple

Définition

Dans le cas de cet article, un mur est milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles. Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égale au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

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Mur_generalite.png

Conséquence sur la loi de Fourier

Compte tenu de la définition :

$\frac{dT}{dx}= {\rm Constante}\,$

L'équation de Fourier devient

$\Rightarrow d\Phi= - \lambda S \frac{dT}{dx}\,$

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Mur_gradient.png

Par intégration, il est possible de déterminer le profil de température dans l'épaisseur du mur

$\int_{T}^{T_1}\, dT\ = - \int_{x}^{x_1} \frac{\Phi}{\lambda S} dS\,$

$T-T_1= - \frac{\Phi}{\lambda S} (x-x_1)\,$

$\Rightarrow T= T_1 - - \frac{\Phi}{\lambda S} (x-x_1)\,$

La variation de température dans un mur est donc linéaire.

Calcul du flux thermique

$\int_{T_2}^{T_1}\, dT\ = - \int_{x_2}^{x_1} \frac{\Phi}{\lambda S} dS\,$

$T_2-T_1= - \frac{\Phi}{\lambda S} (x_2-x_1)\,$

$e= x_2-x_1\,$

$\Rightarrow \Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,$

Calcul de la densité de flux thermique

$\varphi= \frac{\Phi}{S}\,$

$\varphi= \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)\,$

Analogie électrique

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Mur_analogie_elec.png

Par analogie avec l'électricité et en particulier la loi d'Ohm nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

$(U_1-U_2)= RI\,$

$(T_1-T_2)= \frac{e}{\lambda} \varphi\,$

Nous pouvons mettre en parralèle la tension et l'intensité

$(U_1-U_2) \leftrightarrow (T_1-T_2),$

$I \leftrightarrow \varphi,$

Avec

$R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda}\,$

Mur composé série