Composition d'applications

En mathématiques, la composition des applications est une loi qui permet de former à partir de deux applications une application appelée application composée, qui a pour effet d'appliquer la seconde application, puis la première. L'application composée associe à un élément, l'image par la première application de l'image par la seconde application de cet élément.

X, Y et Z étant trois ensembles quelconques, les applications f:X→Y et g:Y→Z peuvent être composées parce que l'ensemble d'arrivée de f est égal à l'ensemble de définition de g.

L'application composée de f par g est l'application gof: X→Z définie par

\forall x\in X, (g\circ f)(x)=g(f(x)).

Ainsi l'image par gof d'un élément x de X s'obtient en appliquant f puis g à x.

La notation gof se lit « g rond f » ou « composée de f par g » ou « composée de g et f ».

Comme exemple, supposons que l'altitude d'un avion à l'instant t soit donnée par la fonction h:t↦h(t) et que la concentration d'oxygène autour de l'avion à une altitude x soit donnée par la fonction c:x↦c(x).
Alors coh est la fonction qui représente la concentration d'oxygène autour de l'avion à l'instant t.

À la moitié du XXe siècle, quelques mathématiciens décidèrent de ne pas utiliser la notation gof pour appliquer f puis g parce qu'ils trouvaient que cela pouvait porter à confusion. Ils écrivaient «xf» à la place de «f(x)» et «xfg» à la place de «g(f(x))».
Cependant, ce mouvement ne fut pas suivi, et de nos jours, cette notation ne se rencontre que dans de vieux livres.

Les applications g et f commutent si fog=gof.

La dérivation des composées d'applications suppose que les applications sont toutes dérivables. (Voir aussi la formule de Faà di Bruno.)

Puissances fonctionnelles

Si Y⊂X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f2. Ainsi

\forall x\in X, (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f ^2(x)
\forall x\in X, (f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f ^3(x)

Pour tout entier naturel n, la puissance n-ième de f est définie par f\circ f^n =f^n \circ f =f^{n+1} et f^0=\operatorname{Id}_X.

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction bijective de X sur X. f-1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif fn, est la composée de f-1 par elle-même -n fois.

Il ne faut évidemment pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin2 est la fonction sin×sin qui vérifie pour tous réels x, sin2(x) = sin(x)×sin(x). Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

Voyez également

See also: Composition d'applications, Application réciproque, Dérivation, Fonction (mathématiques), Loi de composition, Mathématiques, Ocaml, XXe siècle, Logique combinatoire