Complexité
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La complexité au point de vue de la théorie de l’information
Une notion de complexité est définie en théorie de l'information.
La théorie de la complexité de Kolmogorov définit la complexité d’un objet fini par la taille du plus petit programme informatique (au sens théorique) qui permet de produire l’objet en question. Ainsi, une information compressible a une faible complexité et contient peu d’information. C’est d’ailleurs pourquoi les utilitaires de compression généralistes ne cherchent pas à comprimer des fichiers totalement aléatoires (opération par nature impossible), mais uniquement des fichiers dont on sait à l’avance qu’ils comportent une certaine redondance qui se traduit par des corrélations.
La complexité de Kolmogorov est un sujet discuté. On peut en effet toujours donner à un ordinateur une construction telle qu’une opération très particulière (par exemple le calcul de pi ou l’impression de l’intégrale des œuvres de Victor Hugo)) y sera codée par un bit. On retrouve ici la notion connue qu’une information n’est jamais contenue dans un message seul, mais toujours dans le couple message + décodeur pris de façon indissociable. Aussi la notion de « plus petit programme théorique » ne peut-elle être définie opérationnellement de façon rigoureuse, ni univoque. Il faudra au minimum lui associer un type particulier de machine, avec toute la partie d’arbitraire inévitable que cela suppose. Selon la machine choisie un objet A sera, au sens de Kologorov, « plus complexe » ou « plus simple » qu’un objet B.
On pourrait objecter qu’il suffit de prendre comme référence la machine la plus simple. C’est oublier que ce que nous nommerons simple dépend justement de notre vécu et de notre langage, tous deux arbitraires. Voir rasoir d'Occam.
La notion, bien qu’utile, doit donc être manipulée avec précaution.
La complexité au point de vue de la physique
Intuitivement, un système est complexe lorsqu’il est compliqué. Deux critères permettent de caractériser plus finement cette notion : le nombre et l’indépendance des parties.
Le nombre et l’indépendance des parties
Un système complexe est composé d’un grand nombre de parties. Avec ce seul critère tous les systèmes matériels seraient complexes sauf les particules, les atomes, les petits ions et les petites molécules. Mais un système peut avoir un grand nombre de parties sans avoir un mouvement très compliqué, si toutes les parties bougent de la même façon par exemple. Le critère de l’indépendance des parties est destiné à exclure ces cas. Mais il est difficile à définir précisément.
Tant qu’on considère un solide comme un corps parfaitement rigide, ses parties ne sont pas indépendantes les unes des autres. Quelques nombres, quelques variables d’état suffisent pour caractériser complètement l’état de mouvement du solide : position du centre d’inertie, vitesse de translation, vitesse de rotation. Le mouvement de chacune des parties est complètement déterminé par ces nombres. En revanche, si on étudie les vibrations du solide, les mouvements peuvent être beaucoup plus compliqués, parce que chaque partie peut avoir un mouvement différent des autres. Il en va de même pour un fluide. Pour décrire ces mouvements il faut beaucoup plus de variables d’état, un nombre infini en théorie. Dire ici que les parties sont indépendantes, ce n’est pas dire qu’elles n’interagissent pas avec les autres mais seulement que la connaissance de l’état d’une partie ne fournit pas ou peu d’informations sur l’état des autres parties.
Il y a une part de subjectivité dans l’appréciation de l’indépendance des parties : un système est d’autant plus complexe qu’il est plus mal connu, parce que plus on le connaît, plus on est capable de voir la cohérence entre les mouvements des diverses parties.
La complexité du réel
Les systèmes simples sont des objets d’études privilégiés. Pendant longtemps ils ont été les seuls systèmes pour lesquels on pouvait faire des calculs, mais ce n’est plus vrai maintenant, grâce aux ordinateurs. Ce sont aussi les seuls systèmes que l’on peut bien caractériser lors d’une expérience et c’est un point important pour la reproductibilité (le fait que l’on peut reproduire la même expérience plusieurs fois et obtenir toujours le même résultat). Cet intérêt de la simplicité explique en partie pourquoi on trouve dans tous les livres et les laboratoires de physique les mêmes géométries simples (cercle, sphère, cylindre, ...).
Les exemples étudiés dans les livres sont souvent simples mais la réalité l’est beaucoup moins. On peut dire qu’en première approximation les systèmes complexes sont tous les systèmes. La complexité est la règle, la simplicité l’exception. La complexité est un défi pour les mathématiques appliquées : utiliser les mathématiques pour comprendre tout ce qui est sous nos yeux, ne pas se limiter à ce qu’on peut tracer à la règle et au compas.
Tous les systèmes réels sont complexes, ou presque tous. Mais plus un système est complexe, plus il est difficile de le connaître avec précision. Le nombre des combinaisons possibles par exemple pose problème. Comme les parties sont indépendantes, les états envisageables a priori sont toutes les combinaisons d’états des partie. L’explosion combinatoire conduit à des nombres gigantesques de cas possibles, souvent plus que le nombre de particules dans l’univers connu, même pour des systèmes relativement peu complexes. La connaissance précise de l’état présent d’un système complexe pose également problème. Il y a beaucoup trop de variables d’état à mesurer. Les systèmes complexes sont souvent mal connus et ils réservent beaucoup de surprises (émergence de propriétés collectives, auto-organisation, nombres de Feigenbaum dans les systèmes chaotiques). L’Institut de Santa Fe, créé par plusieurs physiciens dont Murray Gell-Mann et dont le nom officiel est Institute for complexity, fait de l’étude de ce type de questions son activité à plein temps.
La théorie générale des systèmes est parfois appelée systémique.