Espace complet

Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque \sqrt{2} n'y figure pas. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

Sommaire
1 Exemples
2 Quelques théorèmes
3 Complété d'un espace métrique
4 Espace topologiquement complet

Exemples

Soit l'espace \mathbb Q des nombres rationnels. Considérons la suite définie par :

x1 = 1 et x_{n+1} = {x_n \over 2} + {1 \over x_n}.

C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à \mathbb Q. En fait elle converge vers le nombre irrationnel \sqrt{2}.

L'intervalle ouvert ]0,1[ n'est pas complet non plus. La suite ({1\over 2}, {1\over 3}, {1\over 4}, {1\over 5} \ldots) est une suite de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle. Toutefois, l'intervalle réel fermé [0,1] est complet, la suite précédente ayant une limite valant 0 dans cet intervalle.

L'espace \R des nombres réels et l'espace \mathbb C des nombres complexes sont complets ainsi que l'espace euclidien \R^n. Les autres espaces vectoriels normés peuvent être complets ou pas; ceux qui le sont sont les espaces de Banach. Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets.

L'espace \mathbb Q_p des nombres p-adiques est complet pour tout nombre premier p. Cet espace complète \mathbb Q avec la métrique p-adique tout comme \R complète \mathbb Q avec la métrique euclidienne.

Si S est un ensemble donné, l'ensemble S^{\mathbb N} des suites de S devient un espace métrique complet si on définit la distance entre les suites (x_n)_{n\in\N} et (y_n)_{n\in\N} comme étant égale à 1\over N où N est le plus petit indice pour lequel x_N \ne y_N, ou 0 si un tel indice n'existe pas.

Quelques théorèmes

Tout espace métrique compact est complet. En fait tout espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et borné.

Un sous-espace d'un espace complet est complet si et seulement s’il est fermé.

Si X est un ensemble et M un espace métrique complet, alors l'ensemble B(X,M) des fonctions bornées de X dans M est un espace métrique complet. On définit la distance dans B(X,M) en terme de distance dans M :

d(f,g) := \sup\left\{\,d(f(x),g(x)) : x\in X \,\right\}.

Si X est un espace topologique et M un espace métrique complet, alors l'ensemble Cb(X,M) des fonctions continues bornées de X dans M est un sous-espace clos de B(X,M) et donc également complet.

Le théorème de Baire montre que tout espace métrique complet est un espace de Baire.

Complété d'un espace métrique

Pour tout espace métrique M, il est possible de construire un espace métrique complet M' (également noté \tilde M ou \hat M) qui contient M comme sous-espace dense. Il possède la propriété suivante : si N est un espace métrique complet quelconque et f est une fonction uniformément continue de M vers N, alors il existe une unique fonction uniformément continue f' de M' vers N qui prolonge f. M' est appelée complété de M.

Le complété de M peut être construit comme l'ensemble des classes d'équivalence des suites de Cauchy de M. Pour deux suites de Cauchy (x_n)_{n\in\N} et (y_n)_{n\in\N} de M, on définit la relation :

x R y \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = 0

où d est la distance sur l'ensemble M (cette limite existe car les suites convergent, la distance est une valeur réelle et les nombres réels sont complets).

Cette relation n'est pas celle d'une distance nulle, car deux suites de Cauchy distinctes peuvent être en relation. On définit le complété de M comme l'ensemble des classes d'équivalence de la relation précédente. L'espace originel est plongé dans le nouvel espace par identification d'un élément x de M avec la classe d'équivalence des suites qui convergent vers x (c’est-à-dire la classe d'équivalence qui contient la suite constante de valeur x).

La construction des nombres réels est un cas particulier; l'ensemble des nombres réels est le complété de l'ensemble des nombres rationnels, la valeur absolue usuelle étant utilisée comme distance. En utilisant d'autres notions de distance sur les nombre rationnels, on obtient d'autres ensembles, les nombres p-adiques.

Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense. Appliquée à un espace préhilbertien, on obtient un espace de Hilbert.

Espace topologiquement complet

La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. L'ensemble des nombres réels, par exemple, est complet et homéomorphe à l'intervale ]0,1[ qui n'est pas complet.

En topologie, un espace est considéré comme topologiquement complet s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Un tel espace est également appelé espace polonais.

Exemple : c'est le cas de l'ensemble ]0,1[ qui n'est pas complet avec la distance usuelle, mais qui le devient avec la distance d(x,y) = | tan(πx − π / 2) − tan(πy − π / 2) | .

See also: Espace complet, Continuité, Dense, Espace compact, Espace de Baire, Espace de Banach, Espace de Hilbert, Espace euclidien, Espace métrique, Espace préhilbertien