Espace compact

La compacité est une propriété topologique importante. Les espaces topologiques compacts jouent un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques.

Intuitivement, un ensemble compact est « petit » au sens où on ne peut « s'en échapper » (une suite de points de cet espace admet toujours une sous-suite qui converge dans lui même : les points ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres). Dans un cadre métrique cela se manifeste également par le caractère fermé borné des compacts, mais la définition de la compacité s'applique à des espaces topologiques généraux, pas nécessairement munis d'une distance.

Sommaire
1 Définitions

1.1 Recouvrements ouverts, compacité
1.2 Parties compactes
1.3 Cas des espaces métriques
1.4 Exemples

2 Diverses propriétés

2.1 Opérations ensemblistes, théorème de Tychonoff
2.2 Compacité et continuité, théorème de Heine

3 Espaces métriques compacts

3.1 Le théorème de Bolzano-Weierstrass
3.2 Séparabilité, cardinalité

4 Voir aussi

Définitions

Recouvrements ouverts, compacité

Par passage au complémentaire, cette dernière propriété est équivalente à la propriété suivante : si (F_i)_{i\in I} est une famille de fermés telle que \bigcap_{i\in I}F_i\ =\ \empty, alors on peut extraire une famille finie (F_i)_{i\in J}, avec J \subset I, telle que \bigcap_{i\in J}F_i\ =\ \empty. Ou encore, par contraposition, si toute intersection finie \bigcap_{i\in J}F_i d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection \bigcap_{i\in I}F_i de toute la famille est non vide.


NB: La terminologie anglo-saxonne qualifie parfois de « Hausdorff compact » ce que nous appelons ici « compact » ; être « compact » signifie alors posséder seulement la propriété des sous-recouvrements finis mais pas nécessairement la séparation.

Parties compactes

Propriété : Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.

NB: Ceci est en général faux si l'espace ambiant n'est pas séparé ; par exemple dans \R munie de la topologie grossière (\empty,\R), \left\{ 1 \right\} est compact mais pas fermé.

Cas des espaces métriques

\forall \epsilon>0\ \exists (x_i)_{1\leq i \leq n}\ /\ \bigcup_{i=1}^n B(x_i,\epsilon)\ =\ K

Propriété : Un espace métrique est compact si et seulement s’il est précompact et complet

ATTENTION : Il faut se garder, dans le cas général, de dire que si un espace est compact alors il est complet et précompact ; en effet ces deux dernières notions sont métriques et n'ont donc aucun sens dans le cadre de la topologie générale. La compacité par contre est une notion « purement topologique ».

Propriété : Un espace métrique compact (ou une partie compacte d'un espace métrique) est borné(e).

Exemples

Diverses propriétés

Opérations ensemblistes, théorème de Tychonoff

Propriété : Soit E un espace topologique, K1 et K2 deux parties compactes de E. Alors K_1 \cap K_2 et K_1 \cup K_2 sont compactes.

Propriété : Soit K1 et K2 deux espaces compacts ; le produit K_1 \times K_2, muni de la topologie produit, est encore compact.

Théorème (de Tychonoff) : Un produit quelconque de compacts est compact, i.e. : si (K_i)_{i\in I} est une famille quelconque d'espaces compacts, alors le produit \prod_{i\in I} K_i est encore un espace compact. (Ce théorème nécessite l'axiome du choix pour sa démonstration.)

Compacité et continuité, théorème de Heine

Propriété : Soit E, F des espaces topologiques, F étant séparé, K une partie compacte E, et f une application continue de E vers F. Alors f(K) est compact.

Moralité : l'image continue d'un compact (dans un séparé) est compacte.

Corollaire : Soit K un espace compact, et f une application continue de K vers \R. Alors f est bornée et atteint ses bornes.

Propriété : Soit K un espace compact, F un espace séparé, et f une bijection continue de K vers F. Alors f est un homéomorphisme.

Théorème (de Heine) : Soit K un espace compact, F un espace métrique, f une application continue de K vers F. Alors f est uniformément continue.

Espaces métriques compacts

Dans le cas où on dispose d'une distance sur l'espace, on peut tirer de la compacité de nombreuses informations. On a déjà vu les interactions avec la complétude et la précompacité. On peut également caractériser la compacité à l'aide du théorème fondamental suivant.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass

On dira qu'un espace métrique E possède la propriété P si pour toute suite de points de E, on peut extraire une sous-suite convergeant vers un point de E.

Cette propriété se dit également : toute suite d'éléments de E a une valeur d'adhérence dans E.

NB: Le fait que la limite soit dans l'espace est fondamental ; par exemple toute suite de points de [0,1[ admet une sous-suite convergente dans \R mais la limite peut être 1..

Théorème (de Bolzano-Weierstrass) : Un espace métrique est compact si et seulement s’il vérifie la propriété P.

De là la forme habituelle du « théorème de Bolzano-Weierstrass » dans \R : toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.

Séparabilité, cardinalité

Théorème : Un espace métrique compact est séparable.

Corollaire : Un espace métrique compact a au plus la puissance du continu, i.e. il est de cardinal inférieur ou égal à celui de \R.

Voir aussi

See also: Espace compact, Analyse complexe, Analyse réelle, Axiome du choix, Bolzano, Continuité, Distance (mathématiques), Ensemble de Cantor, Espace complet, Espace localement compact