Classe suivant un sous-groupe


Cet article de mathématiques présente une technique générale dans l'étude des groupes. À partir d'un sous-groupe donné, on définit une relation d'équivalence et donc une partition du groupe de départ.

niveau bac~bac+2
prérequis groupe, sous-groupe, relation d'équivalence
base pour théorème de Lagrange, groupe quotient

Dans tout cet article:

(G, * ) est un groupe, noté multiplicativement, de neutre e.
H désigne un sous-groupe de G.
Sommaire
1 Définitions
2 Relation d'équivalence
3 Classes d'équivalence
4 Quelques propriétés
5 Applications

Définitions

Ce paragraphe donne uniquement les définitions ensemblistes des classes à gauche et à droite du sous-groupe H. La justification de cette définition et les propriétés qui y sont liées font l'objet des paragraphes suivants.

Soit g \in G.

On appelle classe à gauche suivant H l'ensemble gH défini par :

gH=\{g h | h \in H \}

On appelle classe à droite suivant H l'ensemble Hg défini par :

Hg=\{ h g| h \in H \}

Relation d'équivalence

On définit une relation R dans le groupe G par : xRy \Leftrightarrow xy^{-1} \in H

Cette relation R est alors une relation d'équivalence sur G.


Preuve:

R est réflexive.

\forall x \in G, xRx \, car :
x x^{-1}=e \in H \,

R est symétrique.

\forall (x,y) \in G^2, xRy \Rightarrow yRx \, car :
xy^{-1} \in H \Rightarrow (xy^{-1})^{-1}=yx^{-1} \in H \,

R est transitive.

\forall (x,y,z) \in G^3, (xRy \mbox{ et } yRz) \Rightarrow xRz \, car :
\left( xy^{-1} \in H \mbox{ et } yz^{-1} \in H \right) \Rightarrow xy^{-1}yz^{-1}=xz^{-1} \in H \,

La relation R est réflexive, symétrique, et transitive, donc elle définit une relation d'équivalence sur le groupe G.

Il est intéressant de noter que chacune des propriétés de la relation d'équivalence est directement reliée à une propriété de H en tant que sous-groupe.

R est symétrique car e \in H
R est transitive car H est stable pour la loi de composition.
R est symétrique car H est stable par inversion.

Classes d'équivalence

La relation R définie au paragraphe précédent est une relation d'équivalence donc elle donne une partition du groupe G en classes d'équivalence.

Soit g \in G. Si on note cl(g) la classe d'équivalence à laquelle appartient g, alors :

cl(g)=\{x \in G | xg^{-1} \in H\}

c'est-à-dire :

cl(g)=\{x \in G | x=g h, \, h \in H \}

Cet ensemble est généralement noté gH et appelé classe à gauche de H.


On définit de la même façon les classes à droite de H. Ce sont les ensembles, notés Hg, définis par

Hg=\{x \in G | x=h g, \, h \in H \}

Ces ensembles sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence suivante : xR'y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H.

Quelques propriétés

On a gH = H si et seulement si g est un élément de H.

Deux quelconques classes à gauche, ou classes à droite, sont égales ou disjointes.

Si H est un sous-groupe fini, alors toutes ses classes à droite et à gauche ont même nombre d'éléments.

De plus, si G est un groupe fini, alors le nombre de classes à gauche (ou à droite) de H est égal au quotient de l'ordre de G par celui de H.

Le sous-groupe H est dit distingué ou normal ou invariant si et seulement si pour tout g dans G, la classe à gauche gH est égale à la classe à droite Hg.

Applications

See also: Classe suivant un sous-groupe, Groupe, Groupe (mathématiques), Groupe quotient, Mathématiques, Relation d'équivalence, Sous-groupe, Sous-groupe distingué, Théorème de Lagrange, Disjoint