Cinématique

En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des moments). Elle utilise la géométrie analytique.

On peut dater la naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon le 20 janvier 1700 devant l'académie royale des sciences de Paris. À cette occasion il définit la notion d'accélération et montre comment il est possible de la déduire de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple procédure de calcul différentiel.

Sommaire

1 Définitions de base

2 Mouvement simple

2.1 Mouvement rectiligne
2.2 Exemple
2.3 Mouvement circulaire

3 Mouvement quelconque

3.1 Approximation tangentielle
3.2 Approximation circulaire

4 Enregistrement du mouvement

4.1 Enseignement et travaux pratiques
4.2 Sur la route
4.3 Navigation nautique et aérienne

Définitions de base

Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l'espace et une référence pour le temps, une horloge ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arrêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les direction géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet de base est le point matériel, défini par ses coordonnées (x,y,z) et sa masse m (en fait, dans la cinématique, la masse n'intervient pas).

Concrètement, cet objet physique défini par quatre paramètres représente soit un objet de petite taille (particule, petite bille), soit un objet de grande taille dont on néglige les effets de rotation sur lui-même ; nous appellerons cet objet le mobile. On ne s'intéresse alors qu'au mouvement dans l'espace du centre d'inertie de ce mobile. Le centre d'inertie d'un objet est encore appelé centre de masse ou centre de gravité.

Les coordonnées définissent la position.

Le vecteur obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur-vitesse

$\vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix}$

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur-accélération

$\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \end{pmatrix}$

La mécanique du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et des forces.

L'équation horaire du mouvement

$\left\{\begin{matrix} x = f_1 (t) \\ y = f_2 (t) \\ z = f_3 (t) \end{matrix}\right.$

correspond à l'équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système d'équations cartésiennes

g_i(x,y,z) = 0

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire

ax + by + cz + d = 0

Cette courbe est l'ensemble des points par où passe le centre d'inertie du mobile. On définit alors l′abscisse curviligne, notée s, la distance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t = 0). La notion de commune de vitesse est en fait la dérivée de l'abscisse curviligne :

$v = \frac{ds}{dt}$

On a en fait

$||\vec{v}|| = \frac{ds}{dt}$

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Abscisse_curviligne.png
définition de l'abscisse curviligne

Définition de l'abscisse curviligne

On ne considère en général, pour simplifier l'étude, que des mouvements plans (que le plan soit horizontal, vertical ou incliné). On définit donc un repère (O,x,y) dans ce plan, ce qui permet de ne travailler qu'avec deux coordonnées.

Pour simplifier les calculs, on définit souvent un repère local dit « de Frenet » pour chaque instant ; en un point de la courbe, l'axe des x est la tangente à la courbe et orienté dans le sens du mouvement, et l'axe des y est la normale à la courbe orienté de sorte que le repère soit direct. Ce n'est pas un référentiel mobile par rapport au référentiel de l'étude, c'est un repère « jetable », défini juste à un instant t pour simplifier l'écriture des grandeurs à cet instant donné. Le référentiel reste celui du laboratoire, seule change la manière dont on exprime les composantes des vecteurs.

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Repere_frenet.png
définition du repère de Frenet

Définition du repère de Frenet

Mouvement simple

le problème est donc ramené à trouver la fonction donnant la position sur la courbe en fonction du temps, soit s(t). On appelle diagramme horaire le graphe de [t,s(t)]: de tels diagrammes sont très utilisés pour les trains(par exemple en France, le CHAIX donne pour l'ensemble du réseau les diagrammes horaires, ce qui permet de calculer les tableaux de correspondance de transport de gare en gare).

Mouvement rectiligne

Le cas le plus simple est celui du mouvement rectiligne : la courbe est une droite. Le mouvement est dit rectiligne uniforme si la vitesse v est constante ; cela correspond au mouvement d'un objet lancé dans l'espace hors de toute interaction, ou encore au mouvement d'un objet glissant sans frottement. On a

s = v · t

L'abscisse curviligne est une fonction linéaire du temps.

Le mouvement peut être rectiligne uniformément accéléré ; l'accélération a est continue. Ceci correspond à la chute libre (sans frottement) d'un objet lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée verticalement ; ou bien un mouvement sans frottement sur un plan incliné d'un mobile lâché avec une vitesse initiale nulle ou dirigée par la pente du plan incliné. On a l'accélération

$a = ||\vec{a}|| = \frac{d v}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$

qui est constante, soit:

$v = ||\vec{v}|| = a \cdot t + v_0$

où v₀ est la vitesse à t = 0 (elle est nulle si l'objet est lâché sans vitesse initiale), et

$s = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t$

(on prend s = 0 à t = 0). La vitesse est une fonction linéaire du temps, et l'abscisse curviligne est une fonction parabolique du temps.

Exemple

Prenons une fusée avec une vitesse v (calculée en m/s) et une accélération a de 6 m/s/s qui se trouve à une position x sur une trajectoire A-B à tout instant t. Si sa vitesse est constante on a x=vt. Mais comme la fusée a une accélération continue,alors x=1/2at². Donc après 5 secondes de vol depuis A, la fusée est à 75 mètres de A. Maintenant pour connaître sa vitesse, on calcule v=at. Donc si la fusée est en vol depuis 5 seconde, sa vitesse est de 30 m/s.

Mouvement circulaire

Le centre d'inertie du mobile décrit un cercle. Cela peut être un mobile contraint à suivre cette trajectoire comme par exemple une bille dans une gouttière circulaire, d'un pendule à fil dont le fil reste tendu ou un train sur un rail circulaire ; mais cela peut être aussi le mouvement d'un satellite autour d'une planète, ou d'une planète autour d'une étoile (bien que l'orbite soit en général elliptique).

Le mouvement est dit circulaire uniforme si la norme v de la vitesse est constante. L'équation horaire est alors du type

$\left\{\begin{matrix} x = x_C + r \cdot \cos (\omega t) \\ y = y_C + r \cdot \sin (\omega t) \end{matrix}\right.$

où (x_C,y_C) sont les coordonnées du centre du cercle, r est le rayon du cercle et ω est la vitesse angulaire du centre d'inertie du mobile, exprimée en radian par seconde. On a :

$v = r\omega \,$

Le vecteur vitesse est tangent au cercle ; on a:

s = v t = r ω t

On voit aussi que l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (on parle d′accélération centrale centripète), et sa norme vaut

$a = \frac{v^2}{r}$

Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré (r est faible), plus l'accélération est importante.

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Cinematique_mouvement_circulaire_uniforme.png
mouvement circulaire uniforme : la vitesse est tangentielle et l'accélération est centripète - l'accélération et la vitesse n'étant pas homogènes, on utilise une échelle différente pour ces deux types de vecteur

Mouvement circulaire uniforme : la vitesse est tangentielle et l'accélération est centripète — l'accélération et la vitesse n'étant pas homogènes, on utilise une échelle différente pour ces deux types de vecteur

Dans le repère de Frenet, on a :

$\vec{v} = \begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ v^2 / r \end{pmatrix}$

Le mouvement du pendule à fil ou d'une bille dans une gouttière est circulaire mais pas uniforme.

Mouvement quelconque

Pour considérer les mouvement quelconques, on peut travailler de deux manières :

considérer localement la tangente au mouvement, et utiliser les notions développées avec les trajectoires rectilignes uniformes
considérer localement que l'on a un mouvement circulaire uniforme.

Ces deux approximations sont valables si l'on considère des temps courts.

Approximation tangentielle

En général, le mouvement du centre d'inertie d'un mobile est enregistré de manière échantillonnée, c'est-à-dire que l'on a des points discrets correspondant à des position à des instants séparés d'une durée δt. Si l'on considère trois points consécutifs M₁, M₂ et M₃, correspondant à des instants t₁-δt, t₁ et t₁+δt.

La première approximation consiste à dire que la tangente en M₂ est parallèle à la corde [M₁M₃]. Ceci est légitimé par un théorème mathématique disant que pour une fonction continue sur un intervalle, il existe un point de cet intervalle dont la dérivée vaut la pente entre les points extrêmes de la courbe sur cet intervalle ; on peut aussi rapprocher cela du fait que sur un cercle, la médiatrice d'une corde passe par le milieu de la corde et est perpendiculaire à la tangente au milieu de la corde (puisque c'est un rayon).

La deuxième approximation consiste à estimer la norme de la vitesse constante entre M₁ et M₃, ce qui est acceptable si la durée est petite par rapport à l'accélération tangentielle. On estime donc que l'on a

$v(t_1) = \frac{s_3 - s_1}{2\delta t} \,$

La variation de ce vecteur vitesse donne le vecteur accélération. La composante tangentielle vaut :

$a_x = \frac{dv}{dt}$

ou par approximation

$a_x = \frac{v_x (t_1 + \delta t) - v_x (t)}{\delta t} = \frac{v(t_1 + \delta t) - v(t)}{\delta t}$

en effet, dans le repère de Frenet, on a v_x(t) = v(t), et on fait l'approximation v_x(t+δt) = v(t+δt) (approximation d'ordre 0). La composante normale est donnée par la variation de direction du vecteur vitesse ; on a v(t₁) = 0 par définition du repère de Frenet, soit

$a_y = \frac{v_y (t_1 + \delta t)}{\delta t}$

(approximation d'ordre 1, puisque l'ordre 0 est nul).

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détermination de la vitesse et de l'accélération à partir d'un relevé des positions à des instants séparés de delta t

Détermination de la vitesse et de l'accélération à partir d'un relevé des positions à des instants séparés de δt

Dans le cas où le mouvement est lent par rapport à la précision de la mesure, la position enregistrée va avoir des variations dues aux incertitudes de mesure ; ainsi, au lieu d'avoir une courbe lisse, on va avoir une courbe présentant des oscillations (du bruit). Si l'on prend les points tels quels, on va calculer des vitesses instantanées incohérentes qui vont se répercuter sur les calculs des accélérations. Si les données sont traitées de manière informatique, on effectue donc un lissage des données.

Approximation circulaire

On définit en tout point le rayon de courbure r de la trajectoire, en faisant comme si l'accélération tangentielle était une accélération centrale : on a donc

$a_y = \frac{v^2}{r}$

on voit que le rayon peut être positif ou négatif selon le sens de la courbure de la trajectoire par rapport au sens du mouvement.

Enregistrement du mouvement

L'enregistrement du mouvement, c'est-à-dire le relevé de la position et de la vitesse, est le fondement de l'étude cinématique.

Enseignement et travaux pratiques

Le prérequis pour faire une étude cinématique consiste à enregistrer le mouvement. Dans le cadre de l'enseignement, on étudie en général le mouvement de palets auto-porteurs. Ce sont des appareils cylindriques sur coussin d'air (un jet d'air les maintient quelques millimètres au-dessus de la table), ce qui leur permet de glisser sans frottement (on néglige les frottements de l'air). On utilise une table conductrice d'électricité avec un papier spécial ; reliés à une base de temps (uns horloge qui délivre des impulsion électriques à des instants espacés de δt), les palets auto-porteurs provoquent des étincelles qui marquent le papier spécial. Ainsi, chaque point sur le papier correspond à la position du centre d'inertie à un instant donné. Ceci permet d'étudier le mouvement sur un plan horizontal et incliné, éventuellement avec deux palets (indépendants, reliés par un élastique ou s'entrechoquant).

Pour étudier la chute libre verticale, on utilise un objet lourd et profilé, une sorte d'obus métallique, que l'on fait tomber verticalement dans une cage (afin qu'il ne bascule pas après l'impact sur la zone de réception). On colle une feuille de papier dessus, et la cage est munie d'une « lance rotative », projetant un fin jet d'encre. La lance tournant selon une fréquence constante, chaque trait sur le papier marque le point présent au niveau de la lance à un moment donné.

Grâce à la réduction du coût du matériel informatique, on peut maintenant disposer d'un caméscope numérique. On peut donc filmer le mouvement (le caméscope étant fixe, posé sur un pied), puis en affichant les images une par une, relever la position de l'objet pour chaque image (en France, la vidéo enregistre 25 images par seconde).

Sur la route

Les forces de police s'intéressent en général uniquement à la vitesse et disposent de cinémomètres à effet Doppler-Fizeau, improprement appelés « radars ». Ceux-ci permettent de mesurer directement la vitesse instantanée. Lorsque s'est produit un accident, les traces de freinage, et les éventuelles traces d'impact sur le mobilier urbain ou les rails de sécurité, permettent de recomposer la trajectoire des véhicules. Notamment, la longueur des traces de freinage permet d'estimer la vitesse avant le début du freinage (la force de freinage étant constante).

Le conducteur, quant à lui, dispose d'un tachymètre (indicateur de vitesse) sur son tableau de bord, qui lui permet de connaître également sa vitesse instantanée. Il se base en général sur la fréquence de rotation des roues ; par exemple, une pastille réfléchissante est collée sur l'arbre de transmission, et une cellule photo-détectrice permet de connaître le temps qui s'écoule entre deux passage de la pastille, donc la fréquence de rotation, donc la vitesse.

Les cyclistes mettent un aimant sur un rayon de la roue avant et un détecteur magnétique sur la fourche, ce qui leur permet, de la même manière, de mesurer la vitesse et le chemin parcouru. D'anciens systèmes étaient basés sur une petite roue tournant, entraînée par la roue du vélo.

La vidéo couplée à l'analyse informatisée des images permet également de déterminer la position et la vitesse des véhicules. Ceci est utilisé pour estimer le trafic et détecter les embouteillages, et pourrait faire son apparition dans les véhicules dans un avenir proche, afin de fournir une aide à la conduite (par exemple évaluation des distances de sécurité en fonction de la vitesse, détection de trajectoires anormales et de freinage d'urgence).

Navigation nautique et aérienne

Aux débuts de la navigation côtière, les marins se repéraient grâce aux reliefs de la côte. Les éléments caractéristiques (villes, phares, églises...) sont toujours utilisés et permettent une localisation rapide et simple, facilement exploitable en cas de demande de secours. La navigation au long cours fut rendue possible grâce au développement des horloges ; en effet elle utilisait la position des astres, or celle-ci varie avec l'heure. Connaissant la date et l'heure, et muni d'un éphéméride (relevé des positions des étoiles selon la date et l'heure), les astres jouaient alors le même rôle que les repères côtier.

Pour se repérer, les aviateurs et marins naviguant aux instruments disposent des signaux émis par des satellites (système GPS et futur système Galileo) ; des satellite émettent des signaux synchronisés, et le décalage entre la réception des signaux permet de déterminer la position sur le globe terrestre. Pour le décollage et l'atterrissage, les avions disposent de balises radio posées au sol leur donnant un repérage précis par rapport à la piste, permettant des manœuvres sans visibilité (de nuit ou par mauvais temps).

Les systèmes de surveillance aérienne (tour de contrôle, aviation civile, armée) ou nautique (CROSS, centre régional opérationnel de surveillance et de sauvetage), ainsi que certains avions et navires, sont munis de radars. Ces dispositifs émettent une impulsion radio dans toutes les directions (en général avec une antenne tournante). Une impulsion revient si elle rencontre un obstacle ; le temps qu'elle met à revenir permet de déterminer la distance de l'obstacle, et le décalage en fréquence permet de déterminer la vitesse de l'obstacle (effet Doppler-Fizeau).