Chute libre, cinématique

La formule $z = \frac{1}{2}.g.t^2$ de Galilée (1564-1642) n'a pas été découverte en un jour. Historiquement, on la trouve chez Dominique Soto, mais c'est pure spéculation. Benedetti prépare Galilée et le "de Motu" de Bonamico est étudié à Pise par Galilée, qui écrit dès 1590. La loi est énoncée dès 1604 (lettre à Sarpi), mais via une double erreur; puis la démonstration est corrigée dans le Dialogo( 1632 ). Cavalieri(1632) et Mersenne (1633) en tirent la chute parabolique avec vitesse initiale horizontale. Torricelli trouvera enfin la parabole de sûreté.

Sommaire

1 Rappel de la démonstration

2 Application numérique avec rappel des unités

3 Et Galilée ?

4 la Tour de Pise

5 Expérimentation réaliste

6 TP récent

7 Méthode de Sakuma(1970,au BIPM)

8 Précautions à prendre !

Rappel de la démonstration

On considère un corps de masse $m$ soumis au champ de pesanteur $\vec{g}$ terrestre.

On écrit le Principe Fondamental de la Dynamique de Newton(1642-1727): $m\vec{a}=m\vec{g}$ où $\vec{a}$ est l'accélération du corps. Donc $\vec{a} = \vec{g}$ .
On intègre une fois , par rapport au temps : $v = g . t + c s t e$ où $v$ est la vitesse verticale : si la vitesse initiale est nulle : $v = g . t$

Remarque : c'est en réalité cette loi que Galilée va énoncer , au grand dam de ceux qui pensent que si la vitesse initiale est nulle, le mobile ne peut avancer !

On intègre encore une fois par rapport au temps : $z(t) = \frac{1}{2}g t^2 + z(0)$ .

On obtient ainsi la trajectoire d'un corps en chute libre.

Application numérique avec rappel des unités

On peut remarquer que :

$m\vec{g}$ est une force, la force de pesanteur ou poids en newton (N). Donc $g$ est en N/kg , c'est à dire en m/ $s 2$ .
Sa valeur à la surface de la terre est 9.81 N/kg à notre latitude. Pour faire simple , nous prendrons : 10 N/kg.

En 1 seconde, la vitesse est donc déjà 10 m/s, et la distance de chute 5m.
En 2 secondes, la vitesse est 20m/s ( 72km/h), et la distance de chute : 20 m.
En 5 secondes, la vitesse est 50m/s ( 180 km/h) et la distance de chute : 125m.

Suite à une question de Beeckman à Descartes (avant 1629), si le mobile descend de h dans le temps $t 1$ , le temps $t 2$ qu'il mettra pour descendre encore de h est : $t_2=(\sqrt{2}-1)t_1$

Image manquante
Petite_brachistochrone.gif

Courbe brachistochrone

Un problème classique du XVIIème siècle : soit le triangle égyptien AOB rectangle en O; OA =3a vertical et OB = 4a horizontal : une masse M1 glisse sans frottement sur le parcours AOB (alésé en O) , l'autre masse M2 glisse sans frottement selon AB : laquelle arrive la première? (voir ci-contre et cycloïde)

Et Galilée ?

Du temps de Galilée, on ne connaissait pas les dérivées, ni la théorie de Newton. On ne connaissait pas les unités. C'est juste après lui qu'on effleure le problème. De même qu'on ne divise pas un vecteur par un vecteur (il était à l'époque idiot de diviser une distance par un temps). Il s'est en fait contenté de dire que la vitesse augmentait comme 0+1 , 1+2 , 2+3 , 3+4 , etc ..., càd 1,3,5,7,...dans des temps égaux : ceci veut dire v = g.t dans notre langage.
Affirmer qu'il l'a constaté expérimentalement est "plutôt douteux"(cf plus bas:Expérimentation).
Cependant, c'était un excellent théoricien, il eût pu raisonner ainsi :

Soit

f (t 1)

la vitesse atteinte au temps t1 ( ou sa valeur moyenne , peu importe). Alors on doit avoir d'après le principe de relativité :

f (t 1) + f (t 2 - t 1) = f (t 2)

Prenons

t 2 = 2 t 1

, c'est-à-fire

f (2 t 1) = 2 f (t 1)

. Et plus généralement

f (n . t) = n f (t)

Donc la vitesse au temps n.t est n fois plus grande que la vitesse au temps t.

Il raisonnait sans doute avec la vitesse moyenne entre deux temps, car il dit 1+2, 2+3, etc., mais le raisonnement reste exact.
En fait il raisonnait en terme de chemin parcouru : il est clair que $d_0 = 0+1,\; d_1 = 1+2,\; d_2 = 2+3$ , et bien sûr , via la somme des n premiers impairs : 1+ 3 + 5 +... = $n 2$ (raisonnement connu depuis très longtemps), il retrouvait z proportionnel à n^2.

Pour réaliser une expérience, encore fallait-il qu'il ait une montre qui donne la cadence. Dugas (histoire de la mécanique) indique que c'est avec une clepsydre (pour le cas du plan incliné) qu'il pouvait faire cette mesure.

Remarque : Il aurait pu aussi faire cette expérimentation : soit t1 , t2 =t1+t et t3 =t1+2t , trois temps consécutifs , où l'on marque z1, z2, z3. Alors , on peut vérifier 2.z2 - (z1 + z3) = cste indépendante de t1 et valant toujours g.t^2 car 2.(t1+t)^2 - [t1^2 +(t1+2t)^2] = 2 .t^2. On peut montrer que ceci est caractéristique de z ~ t^2.

la Tour de Pise

jamais une balle de plume et une balle de plomb ne tombent selon la même loi de chute : à cause de la résistance de l'air . Et Galilée le sait bien, puisqu'il en discute dans son "de Motu" , écrit à Pise vers 1591. C'est dans les années passées à Pise qu'il se détache de la Scolastique, mais c'est seulement vers 1604, qu'il possède le fameux z ~ t^2 . Et il n'y aura pas de vérification expérimentale faite depuis la Tour : c'est une légende, un peu comme la pomme de Newton.

Expérimentation réaliste

On montre assez vite que sur un plan incliné d'angle A , seule la composante , selon le plan, de la pesanteur intervient : la chute est ralentie d'un facteur sin A . En prenant A suffisammant faible, par exemple, sin A = 1/100, alors le temps pour parcourir 1 mètre est 4.47 s : il est possible de pointer z1, z2 et z3 chaque seconde, avec assez de précision. Mais il faut éviter le frottement ; ou bien faire rouler une bille , sans glissement : on montre qu'il faut tenir compte d'un facteur (1/(1+2/5)) = 5/7 ( voir roulement sur un plan incliné). Mais à ceci près, on peut vérifier que la distance parcourue est bien z~ t^2. Très astucieusement on raboutait un plan incliné d'angle B ( en alésant soigneusement la jointure) ; et Galilée et Torricelli avaient vite compris que la bille remontait à la même hauteur et les temps étaient comme sqrt( 1 / sin B).

D'ailleurs Galilée avait aussi vite compris que lorsqu'un pendule oscillait, ce qui se passait à gauche était identique à ce qui se passait à droite.Et il l'interprétait à juste titre comme un mouvement sur une succession de plans inclinés (cf pendule cycloïdal: la conclusion était alors patente : la période T était proportionnelle à sqrt(l).Mais il ne l'énonça pas tout de suite!

Par contre , T = 2 $\pi \sqrt( \frac{l}{g} )$ viendra plus tard avec Torricelli et Huygens.

TP récent

Les élèves laissent tomber un cylindre vertical gradué très lourd. Des cellules photo indiquent le passage des encoches A, B, C, D.

Ou bien trois photos sont prises aux temps t1, t2 = t1 + t et t3 = t1 + 2t. On fait les calculs 2.z2 -(z1+z3) pour les 4 points A,B,C,D et on prend la moyenne : c'est g.t^2 .On fait varier t1 : rien ne change (ou presque). On fait varier t , et on porte g.t^2 en fonction de t^2. La valeur de g , on s'en doute , est approchée par défaut : il y a toujours résistance de l'air!Les élèves sont déçus, sauf si on fait une évaluation extrapolée quand t diminue, puis quand t1 diminue : certes leur valeur n'est pas exacte, mais...le "must" est de faire remarquer que les valeurs de g diminuent assez systématiquement si t1 augmente.Et qu'au fond , dans le cours laps de temps 2t, l'accélération était g - av^2 = g- B.t1^2: ils se précipitent à nouveau sur leurs résultats.Grosse joie et gros dépit : c'est bien meilleur , mais quand même la dispersion des résultats d'une classe est incontestable : on n'arrivera pas à 4 ChS(CHiffres Significatifs). Le pendule de Kater restera inégalé avec 5 CHS, pendant plus d'un siècle.

Méthode de Sakuma(1970,au BIPM)

Très jolie manipulation, à juste titre récompensée: on fait tomber, dans le vide, le miroir d'un interféromètre de Michelson, et on enregistre le défilement des franges. Bien sûr, petite astuce technologique, le miroir est un coin de cube, c'est dire que peu importe son orientation. On a essayé le catapultage vers le haut et redescente, mais finalement , ce n'est pas tellement meilleur.

La précision actuelle est de 5 microgals ( 1 gal = 10^(-5)N/kg ): soit une précision de 10^(-12).On VOIT parfaitement la force de marée luni-solaire ( 100 microgals)qui est une composante du poids , souvent négligée ( cf pesanteur): par exemple,[1]

Précautions à prendre !

Dès que l'on cherche cette précision avec 12 ChS, il faut faire très attention à ce que l'on écrit : g à cette précision de 12 ChS varie avec l'altitude h de la mesure ; chaque variation de R/2 . 10(-12) = 3.2 microns se voit ! Donc en réalité on mesure une valeur de g intermédiaire:on doit appliquer les formules de Kepler! Soit g en O et g.(1+h/R)^2 au point A de chute: quel est le point B intermédiaire où l'expérience évalue g ?le calcul donne OB = OA/12.

Au plateau de Calern ( OCA,Observatoire de la Côte d'Azur), on voit la dilatation annuelle du plateau de Calern ( la correction de Bouguer reste la même, mais pas celle de Faye!): c'est dire la sophistication des mesures depuis Galilée.

Enfin , il faut veiller à ne point approcher par dessus ou dessous des masses trop importantes . A contrario, le faire permet de mesurer la constante de gravitation G ( cf expérience de Cavendish).