Barycentre

Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

On l'utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.

Développement mathématique

Considérons deux points A1 et A2 de l'espace, définis par leurs coordonnées cartésiennes respectives (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2). On associe le nombre m1 à A1 et le nombre m2 à A2 ; ces nombres sont appelés masses ou coefficients de pondération et leur total ne peut être nul.

Le barycentre de ce système ((A1,m1),(A2,m2)) est le point G dont les coordonnées (xG,yG,zG) sont les moyennes pondérées des points du système :

\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \\ y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} \\ z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{m_1 + m_2} \end{matrix}\right.

Si m1 = m2, alors G est le milieu de [A1A2]. Si m1 > m2, alors G est plus proche de A1 que de A2. De manière globale, on a

\frac{A_1 G}{A_2 G} = \frac{m_2}{m_1}

Si l'on a maintenant trois points pondérés (A1,m1), (A2,m2) et (A3,m3), alors on définit de même le barycentre G par les moyennes pondérées des coordonnées

\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \\ y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \\ z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2 + m_3 z_3}{m_1 + m_2 + m_3} \end{matrix}\right.

Considérons G1 le barycentre du sous-système ((A1,m1),(A2,m2)). On peut montrer que G est aussi le barycentre du système ((G1,m1+m2),(A3,m3)). En clair :

Dans le calcul du barycentre, on peut remplacer deux points par leur barycentre pondéré de la somme des coefficients de pondération des deux points.

On peut ainsi découper le système en sous-systèmes pour simplifier le calcul.

Si l'on a n points Ai associés chacun à un coefficient mi, alors le barycentre G a pour coordonnées

\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i x_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ y_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i y_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ z_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i z_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{matrix}\right.

On peut montrer que l'on peut remplacer deux points pondérés, par exemple (A1,m1) et (A2,m2), par leur barycentre pondéré de la somme des pondérations (G1,m1+m2), dans le système, pour obtenir le même barycentre ; on a

\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{(m_1 + m_2)x_{G_1} + \sum_{i = 3}^n m_i x_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ y_G = \frac{(m_1 + m_2)y_{G_1} + \sum_{i = 1}^n m_i y_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ z_G = \frac{(m_1 + m_2)z_{G_1} + \sum_{i = 1}^n m_i z_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{matrix}\right.

On peut utiliser la notation dite des « coordonnées généralisées » :

xi est noté x1i
yi est noté x2i
zi est noté x3i

Les coordonnées du barycentre G (x1G,x2G,x3G) vérifient donc

x_{jG} = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i x_{ji}}{\sum_{i = 1}^n m_i},\ j \in \{1,2,3\}.

Dans tous ces cas, on peut remarquer que le barycentre G est le point G qui annule la fonction vectorielle de Leibniz. C'est-à-dire que

m_1\vec{GA_1}+ m_2\vec{GA_2}+ ... + m_n\vec{GA_n}=\vec{0}

On peut définir le barycentre pour un ensemble infini de points. Soit les points sont discrets, on a alors une série ; soit les points forment un ensemble continu, on a alors un fonction de pondération f(x1,x2,x3), continue, les coordonnées du barycentre valent alors

x_{jG} = \frac{\int\int\int (f(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_{j}) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3}{\int\int\int f(x_1 , x_2 , x_3) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3 },\ j \in \{1,2,3\}

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :

x_{G} = \frac{\int (f(x)\cdot x ) \cdot dx_3}{\int f(x) \cdot dx}

Centre d'inertie

En mécanique, le centre d'inertie, ou centre de gravité, d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. C'est aussi l'unique point d'un corps sur lequel une force ponctuelle peut être appliquée sans générer de mouvement de rotation.

On considère que le poids est une force synthétique passant par le centre de gravité (cela résulte de l'intégration des vecteurs-force pour chaque élément de matière infinitésimal). Ainsi, si un objet est posé sur un pivot, il est en équilibre si et seulement si la droite passant par le pivot et le centre de gravité est verticale : en effet, dans ces conditions, le moment de l'action du pivot est nul par rapport au centre de gravité (le moment du poids est, quant à lui, toujours nul par rapport à ce point), donc l'objet ne tourne pas. Si l'on considère les moments par rapport au pivot, alors dans ces conditions, le moment du poids est nul.
De manière plus générale, un objet posé sur un plan est stable si la verticale passant par le centre de gravité (c'est-à-dire portant le poids) est à l'intérieur du polygone de sustentation, sinon, l'objet bascule.

Dans le cas d'un corps continu \mathcal{C}, on emploie comme fonction de pondération la masse volumique ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre de gravité G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

\vec{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\cdot \vec{OM}\cdot dV}{\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\cdot dV}

Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre de gravité de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion. Attention: Ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique ou un astéroïde, précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.

Note d'histoire

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Huygens( 1654) , lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P0 , il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante . En particulier au moment de la percussion , où des forces quasi-infinies entrent en jeu , avec éventuellement bris de la cible , G n'en continue pas moins IMPERTURBÉ son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens , qui ne connaît pas encore le calcul différentiel.

See also: Barycentre, Cinématique, Courbe de Bézier, Force, Gottfried Wilhelm von Leibniz, Géométrie analytique, Masse, Masse volumique, Mathématiques, Moment (mécanique)