Carré magique

En mathématiques, un carré magique est composé d'un ensemble de nombres entiers écrits sous la forme d'un tableau carré, et pour lequel la somme des nombres de chaque rangée, de chaque colonne et de chaque diagonale est la même. Si n est l'ordre du carré, cette somme est égale à {n(n^2+1) \over 2}.

Sommaire
1 Carrés d'ordre 3
2 Carrés d'ordre 4
3 Carrés d'ordre 5
4 Carrés d'ordre 7
5 Carrés d'ordre 8
6 Carrés d'ordre 9
7 Carrés d'ordre 11
8 Somme d'un carré magique
9 Carrés magiques d'ordre impair
10 Bibliographie
11 Liens externes

Carrés d'ordre 3

6 7 2
1 5 9
8 3 4
Exemple de carré d'ordre 3. Totaux : 15.

Carrés d'ordre 4

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Exemple de carré d'ordre 4. Totaux : 34.
Ce carré magique était connu du peintre allemand Albrecht Dürer, qui l'a inclus dans sa fameuse gravure Mélancolie[1]. Il est combiné de telle sorte que pris horizontalement, verticalement ou en diagonale, la somme des nombres considérés est 34, ainsi d'ailleurs que la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases centrales.
Dürer réussit également à faire figurer dans les deux cases centrales de la rangée du bas la date (1514) de son œuvre.

Carrés d'ordre 5

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
Exemple de carré d'ordre 5. Totaux : 65.
Remarque : ce carré est «semi-diabolique» car la somme de 65 se retrouve sur toutes les diagonales brisées allant de gauche à droite. Exemple : 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Si les diagonales brisées allant de droite à gauche présentaient cette même somme magique, le carré serait dit «diabolique». Il en existe d'ailleurs de nombreux.

Carrés d'ordre 7

30 39 48 1 10 19 28
38 47 7 9 18 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
22 31 40 49 2 11 20
Exemple de carré d'ordre 7. Totaux : 175.

Carrés d'ordre 8

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17
Carré d'ordre 8, de Benjamin Franklin. Totaux : 260.
La somme des carrés d'une même ligne est de 260 alors que la somme des quatre premières cases est de 130. Une ligne à 45° partant de la colonne de gauche et traversant les quatre premières colonnes, pour redescendre ensuite jusqu'à la colonne de droite, rencontre huit nombres d'un total de 260, quantité qui se retrouve en additionnant les nombres des cases extrêmes et des quatre cases centrales. La somme des nombres des cases de 16 carrés juxtaposés pour former l'ensemble de la figure est de 130; ce nombre se retrouve en additionnant les chiffres de quatre cases quelconques équidistantes du centre.

Carrés d'ordre 9

47 58 69 80 1 12 23 34 45
57 68 79 9 11 22 33 44 46
67 78 8 10 21 32 43 54 56
77 7 18 20 31 42 53 55 66
6 17 19 30 41 52 63 65 76
16 27 29 40 51 62 64 75 5
26 28 39 50 61 72 74 4 15
36 38 49 60 71 73 3 14 25
37 48 59 70 81 2 13 24 35
Exemple de carré d'ordre 9. Totaux : 369.

Carrés d'ordre 11

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54
Exemple de carré d'ordre 11. Totaux : 671.

Somme d'un carré magique

Un carré magique d'ordre n est composé des n2 premiers entiers.
Comme le carré contient n lignes (ou n colonnes), si S est la somme de chaque ligne (ou colonne), on a alors : \sum_{k=1}^{n^2} k = nS.
Or on a :
\sum_{k=1}^{n^2} k = {n^2(n^2+1) \over 2}   (somme des n2 premiers entiers; voir ci-dessous une démonstration pour la somme des n premiers entiers)

d'où :
S = {n(n^2+1) \over 2}

NB: pour calculer la somme S des n premiers nombres entiers, procéder comme suit :
1 + 2 + \ldots + (n-1) + n = S
n + (n-1) + \ldots + 2 + 1 = S
En faisant la somme de ces 2 lignes, membre à membre, on obtient :
pour le membre de gauche : n fois (n+1)
et pour le membre de droite : 2 fois S
on trouve donc
S = {n(n+1) \over 2}

Carrés magiques d'ordre impair

Il est assez aisé de créer des carrés magiques d'ordre impair. Placer le 1 dans la case qui se trouve sous la case du milieu du carré. Décaler d'une case vers la droite puis d'une case vers le bas pour le 2, et ainsi de suite pour le 3, puis le 4, etc. Si une case est déjà occupée, il faut revenir au nombre précédent, ne pas décaler à droite puis en bas, mais descendre de 2 cases. Précision : quand on arrive au bord du carré, on continue du côté opposé (en haut ou à gauche), un peu comme si le carré était torique.

Bibliographie

Liens externes

See also: Carré magique, 1654, Albrecht Dürer, Blaise Pascal, Jacques Bouteloup, Mathématiques, Nombre entier, Tore