Cardioïde

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Construction de la cardioïde
La cardioïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la directrice est un cercle (ou épicycloïde).
Sommaire
1 Étymologie et histoire
2 Définition mathématique
3 Propriétés et applications

3.1 Géométrie
3.2 Optique
3.3 Divers

4 Voir aussi
5 Liens externes

Étymologie et histoire

Son nom vient du grec kardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par Johan Castillon.

La première évocation de la cardioïde remonte à 1674 : Rømer l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents des engrenages. En 1708, La Hire détermina son périmètre (8 fois le diamètre du cercle directeur). Castillon la décrit plus en détail et la baptisa dans un document qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon de Pascal (courbe étudiée par Etienne Pascal, le père de Blaise), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.

Définition mathématique

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4 cardioïdes orientées selon les quatre directions cardinales
La courbe peut être définie par l'équation cartésienne suivante :
(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)\,

On peut également la définir par une équation polaire:

\rho ( \theta ) =a(1+cos\ \theta )\,

.. ou par une équation paramétrique :

\left\{\begin{matrix} x(\theta) = a \cos \theta (1 + \cos \theta ) \\ y(\theta) = a \sin \theta (1 + \cos \theta)\end{matrix}\right.

Propriétés et applications

Géométrie

La cardioïde est :

Une cycloïde formée à partir d'un cercle de diamètre a\, a un périmètre égal à 8a\, et une surface de \frac{3}{2} \pi a^2.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée de la cardioïde est une cardioïde homothétique.

Optique

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Cardioïde apparaissant dans un récipient transparent rempli de lait
La cardioïde est une caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient transparent par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Attention, lorsque le récipient est opaque et que ce sont les rayons parallèles du soleil qui se reflètent à l'intérieur, on distingue une forme comparable mais il s'agit alors d'une autre épicycloïde, la néphroïde.
D'ailleurs, la caustique par réflexion de la cardioïde, avec la source lumineuse au point de rebroussement de la cardioïde, est une néphroïde.

Divers

On trouve une cardioïde au centre d'une fractale très connue, l'ensemble de Mandelbrot.

Voir aussi

Liens externes

See also: Cardioïde, Blaise Pascal, Cercle, Courbe cycloïdale, Courbe plane, Cycloïde, Engrenage, Ensemble de Mandelbrot, Fractale, Inverse