Cardinalité

En théorie des ensembles, la cardinalité représente la taille d'un ensemble.

Sommaire

1 Définition

1.1 Cas des ensembles finis
1.2 Approche intuitive, pour les ensembles de taille infinie

2 Propriété

2.1 Propriétés pour les ensembles finis (ou même infinis)

3 Exemples de cardinaux

4 Voir aussi

Définition

Cas des ensembles finis

Pour un ensemble fini la cardinalité est son nombre d'éléments (zéro, pour l'ensemble vide) :

card ({}) = 0 ;

card ({1, 2, 5}) = 3.

Ainsi, card (ensemble des faces d'un dé cubique) = 6

Approche intuitive, pour les ensembles de taille infinie

Des résultats en mathématiques montrent que pour les ensembles infinis, il existe plusieurs tailles d'ensembles, donc plusieurs infinis. Ces différents infinis sont représentés par des nombres cardinaux transfinis.

En particulier :

$\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \aleph_0 < \mathrm{card} (\mathbb{R}) = 2^{\aleph_0}$

Cependant, et cela ne semble pas intuitif au premier abord :

$\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \mathrm{card} (\mathbb{Q})$

Voir aussi Théorie axiomatique des ensembles.

Propriété

Deux ensembles ayant la même cardinalité sont en bijection, on dit aussi qu'ils sont équipotents.

Propriétés pour les ensembles finis (ou même infinis)

card( P ( E ) ) = 2^{card( E )}
card( A ∪ B ) ≤ card( A ) + card( B ) = card( A + B )
card( A ∩ B ) = card( A ) + card( B ) - card( A ∪ B )

Exemples de cardinaux

Si E et F sont deux ensembles donnés, alors :

les correspondances de E dans F forment un ensemble, noté habituellement « Corr( E, F) ». Le nombre de ces correspondances est :

$Card \ Corr( E, F) = 2^{Card E \times Card F}$

Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler que les graphes sont les sous-ensembles de E×F.

les fonctions de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Fnct( E, F) ». Le nombre de ces fonctions est :

$Card \ Fnct( E, F) = (CardF + 1)^{Card E}$

les applications de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Appl( E, F) ». Le nombre de ces applications est :

$Card \ Appl( E, F) = CardF^{Card E}$

Cette propriété explique pourquoi Appl( E, F) est le plus souvent noté « $F^E \,$ ».

les injections de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, noté habituellement « Inj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE > CardF. Si CardE ≤ CardF, le nombre de ces injections est :

$Card \ Inj( E, F) = \frac{ (CardF)! }{ (CardF - Card E)! }$

les surjections de E dans F forment un sous-ensemble de l'ensemble des applications, noté habituellement « Surj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE < CardF. Si CardE ≥ CardF, le nombre de ces surjections est :

$Card \ Surj( E, F) = \sum_{i = 0}^{CardF} (-1)^{i} \frac{ (CardF)! }{ i! (CardF - i)! } (CardF - i)^{CardE}$

les bijections de E dans F forment un sous-ensemble des deux ensembles précédents, noté habituellement « Bij( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE ≠ CardF. Si CardE = CardF = n, le nombre de ces bijections est :

$Card \ Bij( E, F) = n !$ .