Calcul d'incertitude

Le calcul d'incertitude permet d'évaluer les erreurs qui se produisent lors de mesures liées à la vérification d'une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n'étant malheureusement pas de précision infinie, ie. théorique, les mesures faites pendant une expérience ne sont nécessairement pas d'une totale exactitude. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : « la relation n'est pas vérifiée parce qu'elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ? » On en déduit des marges d'erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la méthode scientifique.

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables :

la loi des gaz parfaits

Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :

P : la pression du gaz
V : le volume occupé par le gaz
n : la quantité de gaz en moles (1 mole = 6,022 10²³ molécules)
R : la constante des gaz parfaits = 8,314 J.K^-1.mol^-1
T : la température absolue du gaz, en kelvin.

$P =\frac{n \times R \times T}{V}$ exprime la pression en fonction de n, R, T et V.

Écrivons sa différentielle :

$dP =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV$ .

$\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V$ donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Noter que l'on a dans ce cas particulier : $\frac{\delta P}{P} =\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta R}{R} +\frac{\delta n}{n} + \frac{\delta V}{V}$ .

Les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque l'on a un produit de variables.

Autres exemples simples : surface et volume

Le calcul de la surface d'un rectangle :

$S=L \times l = (L+dL) \times(l+dl) = L\times l + L \times dl +l\times dL + dl\times l$

peut s'écrire :

$dS = ( (L+dL)\times (l+dl) - L \times l )= L\times dl +l\times dL + dL\times dl$

que l'on approxime par :

$dS = L\times dl +l\times dL$

Le calcul d'un volume V=xyz :

$V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)\times(y+dy)\times(z+dz)$ $= x\times y\times z +dx\times y\times z+x\times dy\times z + x\times y\times dz + x\times dy\times dz + y\times dx\times dz + z\times dx\times dy + dx\times dy\times dz$

peut s'écrire :

$dV = y\times z\times dx +z\times x\times dy + x\times y\times dz + dx\times dy\times dz$

que l'on approxime par :

$dV = y\times z\times dx +z\times x\times dy + x\times y\times dz$

Noter que

$dV = yz dx +zx dy + xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz$

Rappel :

$\frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy$

La variation d'une fonction f(x,y,z)

Et plus généralement, pour le calcul de la variation d'une fonction f(x,y,z).

$\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}$ = dérivée partielle par rapport à x

$d f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}dz$

Utilisation de graphes et de barres d'erreurs

Reprenons l'exemple de l'étude des gaz parfaits. Si l'on trace P en fonction de 1/V, on obtiendra théoriquement une droite passant par l'origine, avec comme pente RnT : y=(RnT).x.

n et T étant maintenus constants (l'enceinte ou cellule de mesure contenant le gaz étant sans fuite et thermostatée avec T connu à 0,2%), P étant mesuré, en utilisant un manomètre, avec 5% d'erreur relative, et V étant mesuré avec 2% d'erreur relative, pour chaque point de mesure expérimentale (P,1/V), on trace des barres d'erreurs représentant l'erreur absolue.

Image manquante
PV=nRT.jpg
Image:PV=nRT.jpg

Un programme de « fit » ou d'ajustage de courbe, basé sur l'idée de minorer la distance de la droite (ou courbe) à tous les points expérimentaux, permet de tracer la droite théorique et de calculer sa pente nRT avec un coefficient de confiance r² proche de l'unité, si le fit est bon.

Dans le cas de figure ci dessus, on obtient ainsi nRT= 2.54 (1 + 0.07) Joule

Ceci permet de dire que à n et T constants, l'expérience confirme que PV est constant à 7% près pour le gaz étudié et que pour améliorer ce résultat, il faut mesurer V à mieux que 5%.