Base naturelle des logarithmes

e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4...

e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite :

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

et peut être aussi écrit comme une somme de série

e = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots

Ici n! représente la factorielle de n.

Le nombre e présente un intérêt parce que l'on peut montrer que

pour tout réel x, exp(x) = ex (e à la puissance x);

donc par exemple, on a :

\exp(3)=e\times e \times e=e^3 ou encore
\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}

Le nombre e est un nombre irrationnel et même transcendant. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873.

Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.

Il intervient (avec quelques autres constantes fondamentales) dans l'identité d'Euler :

e^{i\pi}+1=0 \,

Le développement en fraction continue de e s'écrit sous la forme intéressante :

e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}

Démonstration

See also: Base naturelle des logarithmes, 1761, 1873, Charles Hermite, Démonstration de l'irrationalité de e, Exponentielle, Factorielle, Fraction continue, Identité d'Euler, John Napier