Axiomes des probabilités

Commençons par donner une définition simple d'une probabilité. Considérons une expérience aléatoire \mathcal E (ou épreuve aléatoire), et Ω l'univers associée à cette expérience (ensemble de tous les résultats possibles).

Une probabilité P est une application qui à un événement A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E associe un nombre réel (noté P(A)), de telle manière que P satisfasse les axiomes de Kolmogorov :

Premier axiome

Pour tout événement A :

0 \leq P(A) \leq 1.

C'est-à-dire, que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

P (Ω) = 1.

C'est-à-dire, que la probabilité de l'événement certain ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'événements deux à deux disjoints, A1,A2,..., satisfait:

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i).

C'est-à-dire, que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe de sous-ensembles est égale à la somme des probabilités de ces sous-ensembles. Ceci s'appelle l'σ-additivité. Si les sous-ensembles ne sont pas deux à deux disjoints cette relation n'est plus nécessairement vraie.

Ces axiomes sont connus comme étant les axiomes de Kolmogorov, du nom de Andrei Kolmogorov qui les a développés.


D'une manière plus théorique, une probabilité peut être interprétée comme une mesure sur une σ-algèbre ou tribu \mathcal B de sous-ensembles d'un univers Ω (ces sous-ensembles étant les événements), telle que la mesure de l'univers soit égale à 1.

Cette propriété est importante, puisqu'elle nous amène naturellement au concept de probabilité conditionnelle. Tout ensemble A de probabilité non nulle définit une autre probabilité sur l'univers:

pour tout événement B de \mathcal B, P(B / A) = {P(B \cap A) \over P(A)}.

P(B / A) se note aussi PA(B) et habituellement P(B / A) se lit «la probablité conditionnelle de B sachant A» ou «la probablité de B sachant que A s'est réalisé».

Propriétés d'une probabilité

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

P(\emptyset)=0
si A et B sont incompatibles alors P(A \cup B) = P(A) + P(B)
pour tous événements A et B, P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ce qui signifie, que la probabilité pour que l'un des événement A ou B se réalisent est égale à la somme des probabilités pour que A se réalise, et pour que B se réalise moins la probabilité pour que A et B se réalisent simultanément.

pour tout événement A, P(\Omega \backslash A) = 1 - P(A)

Ce qui signifie, que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise.

Cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement.

si A \subset B, P(B \setminus A) = P(B) - P(A)

Ce qui signifie que lorsque la réalisation de A entraine celle de B, la probabilité que B se réalise, mais pas A est égale la différence P(B) − P(A).

Voir aussi

Probabilité conditionnelle

See also: Axiomes des probabilités, Andrey Kolmogorov, Mesure (mathématiques), Probabilité, Probabilité conditionnelle, Tribu (mathématiques), Univers (mathématiques), Événement (mathématiques), Andrei Nicolaievitch Kolmogorov, Expérience aléatoire