Axiomes de Peano

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Les axiomes

La définition axiomatique des entiers naturels de Giuseppe Peano est usuellement décrite par les cinq axiomes suivants :

  1. 0 est un entier naturel (donc l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide).
  2. Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n) ou Sn.
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément).
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à \mathbb N (c'est le principe de récurrence).

Ces axiomes définissent l'arithmétique de Peano. Après une formalisation idoine, en vertu du théorème d'incomplétude de Gödel, il est impossible de démontrer la cohérence (l'absence de démonstrations de propriétés fausses) de cette arithmétique à l'intérieur d'elle-même. )

Propriété

Il existe un ensemble \mathbb N vérifiant les axiomes de Peano. Si \mathbb N\,' est un autre ensemble vérifiant les axiomes de Peano, alors \mathbb N\,' est isomorphe à \mathbb N, c'est-à-dire qu'il existe une bijection f de \mathbb N\,' sur \mathbb N telle que :

See also: Axiomes de Peano, Axiome, Construction des entiers naturels, Entier naturel, Giuseppe Peano, Kurt Gödel, Mathématiques