Argument de la diagonale de Cantor
L'argument de la diagonale de Cantor est une démonstration du mathématicien allemand Georg Cantor de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels.
Cette démonstration est la deuxième écrite par Cantor au sujet de la non-dénombrabilité de 
. La première démonstration n'utilise pas le développement décimal d'un nombre réel.
Depuis que cette technique a été inventée, elle a été utilisée dans de nombreuses démonstrations et l'utilisation de l'argument diagonal est ainsi devenue un classique de la démonstration en mathématiques.
Au lieu de démontrer que est non-dénombrable on va par commodité considérer le sous-ensemble [0,1] de et construire, pour toute partie dénombrable D de [0,1], un élément de [0,1] n'appartenant pas à D ; on aura ainsi prouvé que [0,1] ne peut être dénombrable. Donnons-nous donc une partie dénombrable de [0,1] énumérée à l'aide d'une suite r = (ri) = {r1,r2,...,ri,...}. Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule (une infinité de 0 pour un nombre décimal), soit
ri = 0 , ri1 ri2 ... rin ....
Construisons maintenant un nombre réel x dans [0,1] en considérant le nième chiffre après la décimal de rn. Par exemple pour la suite r :
r1 = 0 , 0 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 , 9 9 3 7 8 1 8 ...
r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 0 ...
...
Les décimales que nous considérons sont celles se situant sur la diagonale. On définit les chiffres composant x de la façon suivante : si le ne chiffre de rn est différent de 1 alors le ne chiffre de x est 1, sinon le ne est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus on a x = 0 . 1 2 1 1 1 2 1.
Le nombre x est clairement dans l'intervalle [0, 1] mais ne peut pas être dans la suite { r1, r2, r3, ... }, car il n'est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r1 car le premier chiffre après le point décimal de x est différent du premier chiffre après la décimal de r1, de même pour r2, etc. donc x n'est pas élément de la suite ri.
Conclusion : l'intervalle [0, 1] n'est pas infini dénombrable et a fortiori .
Cantor a utilisé une forme généralisée de l'argument de la diagonale de Cantor pour démontrer le théorème de Cantor : pour tout ensemble S, l'ensemble des parties de S, noté généralement P(S), est « strictement plus grand » que S lui même, en d'autre termes il ne peut pas exister de surjection de S vers P(S). En effet, s’il existe une telle surjection f de S sur P(S), on peut considérer l'ensemble A des éléments x de S tels que x n'appartienne pas à f(x). Comme A appartient à P(S), il existe, du fait de la surjectivité de f, un élément a de S tel que f(a)=A. On aboutit à une contradiction aussi bien dans le cas où a appartient à A que dans le cas contraire.
Des raisonnements analogues ont été utilisés pour prouver l'existence ou la non-existence de certains objets en mathématiques. Par exemple la preuve du problème de l'arrêt utilise essentiellement l'argument de la diagonale.
Cette démonstration montre que l'ensemble des nombres réels est « strictement plus grand » que l'ensemble des nombres entiers. On peut se poser la question de savoir s'il existe un ensemble dont la cardinalité est strictement plus grande que celle de 
et strictement plus petite que celle de . Cela conduit à l'hypothèse du continu. De même la question de savoir s'il existe un ensemble de cardinalité comprise strictement entre card(S) et card(P(S)) conduit à l'hypothèse du continu généralisée.