Application réciproque
En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir de son image par une application donnée; autrement dit une application réciproque défait ce que l'application originale a fait.
Par exemple, si nous considérons la fonction x → 3x + 2, alors sont application réciproque est x → (x - 2) / 3. Ce qui s'écrit habituellement :
- f : x → 3x + 2
- f -1 : x → (x - 2) / 3
L'exposant « -1 » n'est pas une puissance et f-1 ne correspond pas à l'inverse d'une fonction pour la multiplication, mais à l'inverse pour la composition des fonctions.
En fait, pour qu'une fonction f admette une application réciproque, elle doit être bijective.
- chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint par f : sinon il n'y aurait pas de moyen de définir l'image par f-1 de certains éléments.
- chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint une seule fois par f : sinon l'application réciproque enverrait cet élément sur plus qu'une seule valeur.
Formellement, l'application réciproque d'une application bijective f d'un ensemble X sur un ensemble Y, est l'application notée f-1 qui à un élément y de l'ensemble d'arrivée Y, associe l'unique antécédent x de y par f.
- pour tout x de X, f-1(f(x)) = x, car f(x) a pour unique antécédent x
- pour tout y dans Y, f(f-1(y)) = y, car f envoie l'unique antécédent de y sur y.
Ce que nous pouvons écrire : 
et 
.
Il est possible de définir l'application réciproque d'une fonction pas forcément bijective, en considérant l'application g de même ensemble de définition que f dont l'ensemble d'arrivée est restreint à l'image de f et qui envoie un élément sur l'image de cet élément par f; l'application réciproque est alors l'application multiforme qui à un élément de l'image de f associe ses antécédents par f.
Soient I et J deux parties de 
et 
une fonction bijective.
Si nous représentons graphiquement la fonction f dans un repère cartésien, alors le graphe de f -1 est le symétrique orthogonal de celui de f par rapport à la droite d'équation y = x.
Algébriquement, nous déterminons l'application réciproque de f en résolvant l'équation
- y = f(x)
d'inconue x, et en échangeant y et x pour obtenir
- y = f -1(x).
Cela n'est pas toujours facile ou possible.
Si la fonction f est analytique, alors le théorème d'inversion de Lagrange peut être utilisé.