Application linéaire

Définitions

Soit $f$ : E → F une application où E et F sont deux $\mathbb K$ espaces vectoriels.

f est une application linéaire (ou morphisme de $\mathbb K$ espaces vectoriels) si :
- $\forall x \in E , \forall y \in E , f(x+y) = f(x) + f(y)$
- $\forall \lambda \in \mathbb K, \forall x \in E, f(\lambda.x) = \lambda.f(x)$

Une application possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène.

f est un isomorphisme si :
- $f$ est un morphisme
- $f$ est bijective

f est un endomorphisme si :
- $f$ est un morphisme
- F = E

f est un automorphisme si :
- $f$ est un endomorphisme
- $f$ est bijective

Si F= $\mathbb K$ , on parle de forme linéaire.

On note $L_{\mathbb K}(E,F)$ l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
On note $Isom_{\mathbb K}(E,F)$ l’ensemble des isomorphismes.
On note $L_{\mathbb K}(E)$ l’ensemble des endomorphismes.
On note $GL_{\mathbb K}(E)$ (appelé aussi le groupe linéaire]], c’est un groupe abélien) l’ensemble des automorphismes.

Noyau et Image

Si f est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de f, noté ker, et l’image de f par

$\ker(f)=\{\,x\in E:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in E\,\}$

ker(f) est un sous-espace vectoriel de E et im(f) est un sous-espace de F. La formule suivante sur les dimensions est souvent utile :

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( E ) \,$

Le nombre dim(im(f)) est aussi appelé rang de f et est noté rg(f). Si E et F sont de dimension finie et f est représenté par la matrice A, alors le rang de f est égal au rang de la matrice A.

Exemples

la fonction linéaire « habituelle » : $f : x \mapsto a\cdot x$ où a est un scalaire.
l’application dérivation :

d :

Application linéaire

Définitions

Noyau et Image

Exemples

See also: Application linéaire, Bijection, Dimension, Espace vectoriel, Groupe (mathématiques), Image, Mathématiques, Morphisme, Noyau (algèbre), Scalaire