Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles

L'utilisation de la transformée de Laplace facilite la résolution des équations différentielles linéaires.

Considerons les relations suivantes :

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

Supposons que l'on veuille résoudre l'équation différentielle suivante :

$\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}=\varphi$

$\Leftrightarrow \sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}\}=\mathcal{L}\{\varphi\}$

$\Leftrightarrow \mathcal{L}\{f\}=\frac{\mathcal{L}\{\varphi\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)}{\sum^n_{i=0}a_is^i}$

notons $f^{(k)}(0)\,$ les conditions initiales.

Nous devons maintenant trouver f(t) en appliquant la transformée inverse sur $\mathcal{L}\{f\}$ .

Un exemple

Nous voulons résoudre : $f (2) (t) + 4 f (t) = sin(2 t)$ avec les conditions initiales $f(0) = 0\,$ et $f'(0) = 0\,$

Notons : $\varphi(t)=\sin(2t)\,$

On a alors : $\mathcal{L}\{\varphi\}(s)=\frac{2}{s^2+4}$

L'équation devient : $s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f^{(1)}(0)+4\mathcal{L}\{f\}=\mathcal{L}\{\varphi\}$

On en déduit : $\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{(s^2+4)^2}$

En appliquant la transformée de Laplace inverse, nous obtenons : $f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)$