Anneau euclidien
En théorie des anneaux, un anneau euclidien est un anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne. C'est, parmi les anneaux, celui qui possède le plus de propriétés concernant la divisibilité.
Division euclidienne
On définit une division euclidienne par la donnée d'une application (appelée valuation) v de A - { 0 } dans 
telle que :
pour tout a de A et b de A - { 0 } , il existe q et r dans A tels que
- a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b)
Si, de plus, on impose à v de vérifier : si b divise a alors 
, on dit que v est un stathme euclidien
On reconnait là la forme de la division euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels pour laquelle v(n) = n. On peut remarquer toutefois que, d'une part n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de q et r.
Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à 
(ensemble des entiers relatifs) la définition de la division dans , il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur b (b > 0) restreignant ainsi le champ de validité de la division euclidienne, ou bien accepter de prendre b négatif et prendre pour définition a = bq + r avec |r| < |b|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles :
- 19 = (- 5) × (- 3) + 4 avec |4| < |-5| mais aussi 19 =(- 5) × (- 4) + (-1) avec |-1| < |-5|
L'existence d'une division euclidienne découverte bien évidemment dans l'ensemble des entiers ne se limite pas à ce type d'ensemble. On la retrouve par exemple dans l'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps K : A = BQ + R avec deg(R) < deg (B)
- si
et 
alors 
où elle conserve l'unicité du couple.
Mais on la trouve aussi dans des ensembles plus complexes comme l'anneau de Gauss ![\mathbb Z[i]](/img/math/e2abb021e74e2b38379dfefd04b2b086.png)
: ensemble des complexes s'écrivant a + ib avec a et b entiers relatifs. On remarque que, pour tout complexe z, il existe des éléments q de tels que | z - q | <1. Géométriquement cela se traduit par la propriété : dans le plan complexe, tout disque de rayon 1 contient des points de coordonnées entières. On peut alors définir une division euclidienne : pour tous a et b de avec b non nul, il existe un ou plusieurs éléments q de tels que | a/b - q | < 1. On peut donc écrire que
- a = bq + r avec | r | < | b |.
L'unicité n'est pas réalisée :
- 1 + 2i = (1 + i) × 2 - 1 mais aussi 1 + 2i = (1 + i) × (1 + i) + 1
Propriétés
Un anneau euclidien est toujours principal.
- Il suffit pour cela de prendre dans un idéal I un élément a non nul dont la valuation est minimale. Si x est un élément de l'idéal alors x = aq + r avec r = 0 ou v(r) < v(a). Comme r est aussi un élément de I , ou bien r est nul ou bien sa valuation est supérieure ou égale à a (contradictoire) . r est donc nul et x appartient à (a) . Donc I = (a)
On peut donc définir dans A, des ppcm, des pgcd, et décomposer tout élément de A de manière unique en produits de facteurs premiers.
Un anneau euclidien est donc toujours factoriel.
Pour déterminer un pgcd de deux éléments, on peut utiliser un algorithme d'Euclide : si a = bq + r , un pgcd de (b , r) est aussi un pgcd de (a , b). v(r) étant inférieur v(b), on est assuré que la méthode a une fin : le reste finit par être nul.
Recherche d'un pgcd de 
et de 
-
puis
donc 18x - 18 est un pgcd des deux polynômes, tout comme x - 1.
Exemples d'anneaux euclidiens
Les développements précédents ont permis de montrer que
- Z est un anneau euclidien
- si K est un corps commutatif, K[X] est un anneau euclidien
- : l'anneau des entiers de Gauss est aussi euclidien. En revanche, l'ensemble
![\mathbb Z[i\sqrt{3}]](/img/math/c8c9dae6420adf481574b3301b8f1bad.png)
n'étant pas factoriel, il ne peut pas être euclidien.
- Si K est un corps commutatif, K[[X]] l'anneau de ses séries formelles est aussi euclidien pour la valuation: v(P) = plus petit degré de X dans P.
- Si A est un anneau euclidien et si S est une partie de A stable pour la multiplication. La localisation de A par rapport à S est aussi un anneau euclidien.