Analyse fonctionnelle
D'un point de vue moderne, l'analyse fonctionnelle est aperçue comme l'étude des espaces vectoriels normés complets sur l'ensemble des nombres réels ou des nombres complexes. De tels espaces sont appelés les espace de Banach. Des exemples importants sont les espaces de Hilbert, où la norme est issue du produit scalaire. Ces espaces sont d'une importance extrême dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
Des objets importants d'étude en analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires définis sur les espaces de Banach et de Hilbert. Ceux-ci mènent naturellement à la définition des C*-algèbres.
Les espaces de Hilbert peuvent être complètement classifiés: il existe un espace de Hilbert unique à un isomorphisme près pour chaque cardinal de la base. Puisque les espaces de Hilbert de dimension finie sont entièrement connus en algèbre linéaire, et puisque la plupart des morphismes d'espaces de Hilbert peuvent être décomposés en morphismes d'espaces de dimension au plus Aleph zéro, l'analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite surtout de l'unique espace de Hilbert de dimension Aleph zéro, et de ses morphismes. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de prouver que tout opérateur sur un espace de Hilbert possède un sous-espace propre qui est invariant. Le résultat a déjà été démontré dans beaucoup de cas particuliers.
Les espaces de Banach sont beaucoup plus compliqués à étudier que les espaces de Hilbert. Il n'y a pas de définition claire de ce qui pourrait constituer une base, par exemple.
Pour tout nombre réel p ≥ 1, un exemple d'espace de Banach est donné par l'ensemble de toutes les fonctions mesurables au sens de Lebesgue dont la puissance pème de la valeur absolue a une intégrale finie. (voir les espaces Lp).
Dans les espaces de Banach, une grande partie de l'étude implique l'espace dual : l'espace de toute les formes linéaires continues. Comme en algèbre linéaire, le dual du dual n'est pas toujours isomorphe à l'espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d'un espace dans le dual de son dual. Ceci est expliqué dans l'article sur l'espace dual.
La notion de dérivée est étendue aux fonctions arbitraires entre espaces de Banach via le concept de différentielle ; il en ressort que la différentielle d'une fonction en un certain point est une application linéaire continue.
Ici nous énumérons quelques résultats importants d'analyse fonctionnelle:
- Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d'opérateurs bornés.
- Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d'une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
- Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des fonctions définies sur un sous-espace à l'espace tout entier, tout en conservant la norme.
L'un des triomphes de l'analyse fonctionnelle fut de montrer que l'atome d'hydrogène était stable.
L'analyse fonctionnelle est aussi une branche de la grammaire.
L'analyse fonctionnelle est aussi une méthode utilisé en conception (comme l'analyse de la valeur ou l'analyse fonctionnelle descendante… ). Avec l'analyse fonctionnelle, pour chaque fonction, il faudra les :
- recenser,
- caractériser,
- ordonner,
- hiérarchiser,
- valoriser.