Algèbre de Lie

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Les algèbres de Lie sont nommées d'après le mathématicien Sophus Lie.

Sommaire

1 Définitions, exemples et premières propriétés

1.1 Définition
1.2 Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie
1.3 Théorèmes et résultat

2 Classification

3 Généralisation

4 Références

Définitions, exemples et premières propriétés

Définition

Soit $\mathbb{K}$ un corps.
Une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel muni d'une application (appelée Crochet de Lie) de $\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}$ dans $\mathfrak{g}$ qui à $g,g' \in \mathfrak{g}$ associe $[g, g']$ et qui vérifie les trois propriétés suivantes:

$[\cdot,\cdot]$ est bilinéaire
$[x, y] = - [y, x]$ pour tout $x, y$ de $\mathfrak{g}$
$[x,[y, z]] + [y,[z, x]] + [z,[x, y]] = 0$ pour tout $x, y, z$ de $\mathfrak{g}$

La dernière relation ci-dessus est traditionnellement appelée relation de Jacobi.

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont ni unitaires ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie

On note $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{K})$ l'espace des matrices $n \times n$ a coefficients dans $\mathbb{K}$ (Il correspond a $End(\mathbb{K}^n)$ ) munis du crochet $[A, B] = A B - B A$ . C'est une algèbre de Lie.

Cet exemple est un cas particulier de la construction suivante. Soit $(A, * )$ une algèbre associative. Alors le commutateur $[x, y] = x * y - y * x$ définit sur $A$ une structure d'algèbre de Lie.

Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit $M$ une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur $M$ possède une structure naturelle d'algèbre de Lie.

Théorèmes et résultat

A rédiger:

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si $G$ est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 a $G$ est une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ . Réciproquement, on peut sous certaines conditions reconstruire un groupe de Lie en partant de son algèbre de Lie.

-Théorèmes important (Cartan, etc.)

Classification

A rédiger:

Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin.

L'algèbre de Lie associée au diagramme de Dynkin de type $A n$ est formée par l'ensemble des matrices carrées de taille n par n et de trace nulle. On la note traditionnellement $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ .

Les autres types ( $B n$ , $C n$ , ...)

Généralisation

Il existe différentes sortes de généralisations des algèbre de Lie, on citera juste les algèbres de Kac-Moody et les superalgèbres de Lie.

Références

Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie
Dixmier, Jacques "Algèbres enveloppantes" Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. ISBN 2-87647-014-4
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

groupe de Lie