Action (physique)

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Le chemin d’un objet est celui qui conduit à une valeur stationnaire de l’action. Ainsi, au lieu de penser accélérations sous l’effet de forces, on raisonne en chemin d’action stationnaire : L’action est un scalaire ayant pour dimension énergie x temps

Ce principe d’action stationnaire s’est avéré simple, puissant et général à la fois en mécanique classique où il est strictement équivalent aux lois de Newton et en mécanique quantique ou relativiste et en électromagnétisme où sa généralisation a été très fructueuse .

Beaucoup de problèmes de physique peuvent être résolus en partant de ce principe :

que ce soit pour trouver le trajet du maître nageur pour atteindre le plus rapidement une personne en train de se noyer ou pour trouver le parcourt de la lumière ou le trajet dans un champ gravitationnel d’ un point à un autre .
que se soit pour établir les équations de Maxwell ou les bases de la mécanique quantique dans la formulation de Feynman.

Les symétries d’une situation physique peuvent être mieux traitées, par exemple en utilisant le théorème de Noether qui établit qu’ à toute symétrie continue correspond une loi de conservation.

D’abord formulé par Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, puis développé par Euler et Leibniz., (Pierre de Fermat avait déjà établit un principe de moindre temps pour le trajet de la lumière), le principe de moindre action avait conduit à la formulation Lagrangienne et Hamiltonienne de la mécanique classique.

Ce principe est un des plus important principe de base de la physique.

Un Lagrangien $\mathcal{L}[\varphi_i]$ , appelé ainsi en l’honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques $\ \varphi_i(s)$ qui décrit de façon concise les équations de mouvement du système

Les équations du mouvement s’obtiennent selon le principe d’action stationnaire en écrivant que : $\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$

où l’action est $\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},$

${}{}{}{}\ s_\alpha$ désigne une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont identiques aux équations d’Euler Lagrange, et sont appelées un système dynamique Lagrangien

Les exemples de systemes dynamiques Lagrangiens vont du Modèle standard aux équations de Newton à des problèmes de mathèmatiques pures tels que les équations géodésiques

Un exemple de mécanique classique

La mécanique Lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique; le Lagrangien est :

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}).$

l’énergie cinétique – l’énergie potentielle

Alors l’équation de Euler-Lagrange est $m\ddot\vec{x}+\nabla V=0$

Où les dérivées par rapport au temps sont écrites avec des points situés au-dessus de ce qui doit être dérivé

L’on voit immédiatement que ce n’est autre que si on considère que l’ equation $\vec{F}=- \nabla V(x)$ ,

$\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$ , Exactement la même équation que celle de l’approche newtonienne pour un objet de masse m dans un potentiel

Une autre approche nous donnerait $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ , c’est-à-dire la seconde loi de Newton

En coordonnées sphériques : r, θ, φ le Lagrangien s’écrit :

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).$

Et les équations d’ Euler-Lagrange :

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.$

Dans ce cas le paramètre $\ s_i$ est simplement le temps , et les variables dynamiques $\ \phi_i(s)$ donnent la trajectoire $\vec x(t)$ de la particule.

Action (physique)

Un exemple de mécanique classique

voir aussi

See also: Action (physique), Astronomie, Atome, Dynamique, Formulaire de physique, Histoire des sciences, Instrument de mesure