0 (nombre)

Zéro redirige ici. Cet article est relatif au nombre 0.

Numéral cardinal	Zéro
Numéral ordinal	zéroième zérotième 0^e
Préfixe grec	Οὐδέν
Préfixe latin	nihil
Adverbe
Adverbe d'origine latine
Décomposition en produit de facteurs premiers	Aucune
Diviseurs	Tous les entiers
Nombre romain	-
Nombre binaire	0
Nombre octal	0
Nombre duodécimal	0
Nombre hexadécimal	0

Liste des nombres - Entiers naturels

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0 (zéro) est l'entier naturel précédant 1.

C'est un chiffre désignant la valeur nulle.
C'est le cardinal (nombre d'éléments) de l'ensemble vide.

Sommaire

1 Histoire

2 Utilisation

3 Le zéro comme notation de la base 10

4 Le zéro comme absence de quantité

5 Propriétés arithmétiques et algébriques

5.1 Usage étendu de zéro en mathématiques

6 Voir aussi

7 Liens externes

8 Bibliographie

Histoire

La première apparition du zéro semble remonter au III^e siècle av. J.-C. à Babylone, il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans leur système de numérotation). Il sera également utilisé par les Mayas durant le I^er millénaire, mais de même uniquement comme chiffre dans leur système de numérotation de position et non comme nombre.

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari vers le V^e siècle. Le mot indien désignant le zéro était ßùnya (sùnya), qui signifie «vide» «espace» ou «vacant». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, traduit par les Arabes en « sifr », ce qui signifie «vide» et «grain», est la racine des mots chiffre et zéro. La graphie du zéro, d'abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voute céleste.

Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des mathématiciens arabes, notamment ceux d'al-Khwārizmī, vers le VIII^e siècle. Il est aux environs de l'an mil importé d'Espagne par Gerbert d'Aurillac devenu le pape Sylvestre II, qui commencera aussitôt à en imposer l'usage. Il faut savoir en effet qu'à l'époque l'apprentissage de la division (en chiffres romains !) représentait l'équivalent en heures de travail d'un certificat de licence aujourd'hui.

Il faudra attendre le début du XX^e siècle pour que zéro soit pleinement considéré comme un nombre (notamment l'égalité x⁰=1 pour x>0).

Utilisation

Il est aujourd'hui à la base de notre système de mesure de la température :

0 °C : température du passage de l'eau de l'état état solide (glace) à l'état état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa.
0 K : zéro absolu, température la plus basse possible (-273,16 °C), pour laquelle l'énergie cinétique des molécules est nulle.

Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au VI^e siècle. Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite...

C'est ainsi que le III^e millénaire et le XXI^e siècle ont commencé le 1^er janvier 2001.

Minuit peut se noter 00:00.

Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est une meilleure utilisation des indices d'une taille donnée : en effet, si un tableau a 2⁸ = 256 cases, si on l'indexe par des entiers entre 0 et 255 = 2⁸ - 1 (11 111 111 en base 2), on peut représenter tous les indices par 8 bits alors que si l'on numérote de 1 à 256 (100 000 000 en base 2), il en faut 9. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation de la base 10

Dans la base dix que l'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines...

Lorsqu'il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines.

Si l'on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi que l'on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».

On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».

L'utilisation d'un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il ne s'agit pas du concept d'« absence de quantité », il s'agit juste d'un artifice de notation. Par exemple, dans la numération romaine, on n'a pas besoin de cet artifice puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents.

Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un 0 Pop.

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime par la phrase « il n'y en a pas » (ou « plus »).

Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité.

Lorsque l'on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets semblables, deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l'on manipule le zéro.

L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) a :

$a + 0 = 0 + a = a\,$ (0 est élément neutre pour l'addition)
$a \times 0 = 0 \times a = 0\,$ (0 est élément absorbant pour la multiplication)
si $a \ne 0\,$ alors $a^0 = 1\,$
$0^0\,$ n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que $0^0 = 1\,$ .
par convention $0 ! = 1\,$
$a + (- a) = 0\,$
a/0 = non défini
0/0 = non défini, en remarquant toutefois que le calcul dx/dy lorsque les deux valeurs tendent vers zéro, est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques

Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien ou l'élément neutre pour l'addition dans un anneau.
Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe).
En géométrie, la dimension d'un point est 0.
En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
Zéro est l'une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier x² ou x²y, la fonction de Möbius retournera zéro.
C'est le nombre de n×n carrés magiques pour n = 2.
C'est le nombre de solutions du problème des n-dames pour n = 2 et n=3.

Voir aussi

Liens externes

[1] site de Gérard VILLEMIN – Dictionnaire des NOMBRES

Bibliographie

Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife